ベクトル解析完全講座 第6回 偏微分と勾配

第 5 回までは、主に

$$\mathbf{r}(t)$$

のようなベクトル値関数を微分して、曲線の接ベクトルや速度ベクトルを見てきました。

今回は少し視点を変えて、

各点に実数が割り当てられる関数

を考えます。

ベクトル解析では、温度、濃度、電位、地形の高さなど、

• 点ごとに数値が決まる量

を扱うことが非常に多いです。

このような量を表す関数に対して、どの方向へ行くと増えるのか、どのくらい急に増えるのかを調べるのが今回のテーマです。

ここで最初に出てくるのが

$$\nabla f$$

すなわち 勾配 です。

1. 今回学ぶこと

この記事では、次の内容を扱います。

• スカラー場
• 偏微分
• 方向微分
• 勾配ベクトル
• 最大増加方向

ゴールは

多変数関数の変化を、偏微分と勾配を使って読めるようになること

です。

2. 直感的なイメージ

まず 2 変数関数

$$f(x,y)$$

を考えます。

これは平面上の各点 $(x,y)$ に対して、1 つの実数を対応させる関数です。

たとえば、

• 地図上の各点に高さを対応させる
• 部屋の各位置に温度を対応させる

といったイメージです。

このとき知りたいのは、

• $x$ 方向へ進むとどれだけ変わるか
• $y$ 方向へ進むとどれだけ変わるか
• 任意の方向へ進むとどれだけ変わるか

です。

偏微分は、座標軸方向の変化を見ています。 方向微分は、好きな方向の変化を見ています。 そして勾配ベクトルは、

最も急に増える方向

をまとめて教えてくれるベクトルです。

3. 基本事項

3.1 スカラー場

ベクトル解析では、各点に 1 つの実数を対応させる関数をよく扱います。

たとえば

$$f(x,y,z)$$

のような関数です。

このような関数を スカラー場 といいます。

ここで「スカラー」とは、向きを持たないただの数のことです。 したがってスカラー場とは、

• 各点にベクトルが対応するのではなく
• 各点に実数が対応する

ような場だと思えばよいです。

たとえば

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

なら、原点から遠ざかるほど値が大きくなります。 また

$$f(x,y,z)=z$$

なら、高さそのものを表していると見ることができます。

3.2 偏微分

1 変数関数では、微分は「入力を少し変えたときの変化率」でした。 多変数関数では、どの変数を動かすかを指定しないといけません。

たとえば 2 変数関数

$$f(x,y)$$

に対して、$x$ だけを動かして $y$ を固定したときの変化率を

$$\frac{\partial f}{\partial x}$$

と書きます。

同様に、$y$ だけを動かしたときの変化率を

$$\frac{\partial f}{\partial y}$$

と書きます。

これが 偏微分 です。

つまり偏微分とは、

他の変数を固定して、1 つの変数だけを動かしたときの変化率

です。

3.3 偏微分の例

たとえば

$$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$$

を考えます。

$x$ で偏微分するときは、$y$ を定数として扱うので

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$$

です。

同様に、$y$ で偏微分すると

$$\frac{\partial f}{\partial y}=3x+2y$$

です。

ここで大事なのは、偏微分の結果もまた点 $(x,y)$ によって変わる関数になっていることです。 つまり偏微分は、各点での変化率を新しく作っていることになります。

3.4 勾配ベクトル

偏微分をまとめて 1 つのベクトルにしたものが 勾配ベクトル です。

2 変数なら

$$\nabla f= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}$$

3 変数なら

$$\nabla f= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial f}{\partial y}\\[0.35em] \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$$

と定めます。

なお、勾配は

$$\operatorname{grad} f$$

と書かれることもあります。 これは gradient（グラディエント） の grad を使った書き方です。 日本語では 勾配ベクトル と呼ぶのが普通で、意味は $\nabla f$ と同じです。

ここで

$$\nabla= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix}$$

あるいは 3 次元では

$$\nabla= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial}{\partial y}\\[0.35em] \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$

という ベクトル演算子 と見ると、$\nabla f$ がなぜ偏微分を並べた形になるのかが分かりやすくなります。 実際、

$$\nabla f= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial}{\partial y} \end{pmatrix} f = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\\[0.35em] \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix}$$

となるので、grad f は「ベクトル演算子 $\nabla$ を関数 $f$ に作用させたもの」だと読めます。

これは単に偏微分を並べただけではありません。 勾配ベクトルは、その点で関数が最も急に増える方向を表しています。

したがって、

• 向きは最も増える方向
• 大きさはその最大の増え方

を表していると思うとよいです。

3.5 方向微分

偏微分は座標軸方向の変化でしたが、実際には任意の方向の変化を知りたいことが多いです。

そこで、単位ベクトル

$$\mathbf{u}$$

の方向における変化率を考えます。

これを 方向微分 といいます。

方向微分は

$$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}$$

で与えられます。

これは第 2 回で見た内積の意味とつながっています。 つまり勾配ベクトルのうち、方向 $\mathbf{u}$ にどれだけ成分を持っているかを取り出しているわけです。

3.6 なぜ勾配が最大増加方向になるのか

方向微分の式

$$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}$$

に、第 2 回の内積の公式

$$\nabla f\cdot \mathbf{u}=\|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\|\cos\theta$$

を使います。

ここで $\mathbf{u}$ は単位ベクトルなので

$$\|\mathbf{u}\|=1$$

です。

したがって

$$D_{\mathbf{u}}f=\|\nabla f\|\cos\theta$$

となります。

この値が最大になるのは

$$\cos\theta=1$$

すなわち

$$\theta=0$$

のときです。

つまり方向 $\mathbf{u}$ が勾配ベクトル $\nabla f$ と同じ向きのとき、方向微分は最大になります。

したがって勾配ベクトルは、

その点で最も急に増える方向

を表しています。

3.7 等高線との関係

2 変数関数

$$f(x,y)$$

では、値が一定の曲線

$$f(x,y)=c$$

を 等高線 と見なすことができます。

等高線に沿って動くと、関数の値は変わりません。 つまりその方向の方向微分は 0 です。

方向微分が 0 ということは、その方向ベクトル $\mathbf{v}$ に対して

$$\nabla f\cdot \mathbf{v}=0$$

です。

したがって、勾配ベクトルは等高線に接する方向と直交します。

つまり勾配ベクトルは、等高線に垂直に交わりながら、高い方へ向くベクトルです。

これは「地形で最も急に登る方向」を考えるとかなり自然です。

3.8 例

関数

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

を考えます。

偏微分すると

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

なので、

$$\nabla f= \begin{pmatrix} 2x\\[0.35em] 2y \end{pmatrix}$$

です。

このベクトルは、各点で原点から外向きの方向を向いています。 また大きさは

$$\|\nabla f\|=2\sqrt{x^2+y^2}$$

なので、原点から離れるほど増えていきます。

したがってこの関数では、原点から外へ向かう方向が最も急に増える方向です。

これは $f(x,y)=x^2+y^2$ が原点を底にしたお椀型の形をしていることと一致しています。

4. 例題

例題 1

$$f(x,y)=x^2+xy$$

に対して、

$$\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}$$

を求めよ。

解答

$x$ で偏微分すると

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y$$

です。

$y$ で偏微分すると

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x$$

です。

例題 2

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

の勾配ベクトルを求めよ。

解答

偏微分すると

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

なので、

$$\nabla f= \begin{pmatrix} 2x\\[0.35em] 2y \end{pmatrix}$$

です。

例題 3

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

に対して、点 $(1,2)$ における勾配ベクトルを求めよ。

解答

勾配ベクトルは

$$\nabla f= \begin{pmatrix} 2x\\[0.35em] 2y \end{pmatrix}$$

なので、$(1,2)$ では

$$\nabla f(1,2)= \begin{pmatrix} 2\\[0.35em] 4 \end{pmatrix}$$

です。

5. 練習問題

練習問題 1

$$f(x,y)=3x^2-2xy+y^2$$

の偏微分

$$\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}$$

を求めてください。

解答を見る

$$\frac{\partial f}{\partial x}=6x-2y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y$$

です。

練習問題 2

$$f(x,y)=x^2-xy$$

の勾配ベクトルを求めてください。

解答を見る

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-x$$

なので、

$$\nabla f= \begin{pmatrix} 2x-y\\[0.35em] -x \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 3

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

に対して、点 $(1,0)$ における勾配ベクトルを求めてください。

解答を見る

$$\nabla f= \begin{pmatrix} 2x\\[0.35em] 2y \end{pmatrix}$$

なので、

$$\nabla f(1,0)= \begin{pmatrix} 2\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 4

勾配ベクトルが等高線に垂直になる理由を、方向微分の言葉で説明してください。

解答を見る

等高線に沿って動くと関数の値は変わらないので、その方向の方向微分は 0 です。

したがって、等高線に接する方向ベクトル $\mathbf{v}$ に対して

$$\nabla f\cdot \mathbf{v}=0$$

が成り立ちます。

つまり勾配ベクトル $\nabla f$ は、等高線に接する方向と直交するので、等高線に垂直です。

6. まとめ

今回は、多変数関数の変化を偏微分と勾配で見ました。

重要だったのは、

• スカラー場は各点に実数を対応させる関数である
• 偏微分は 1 つの変数だけを動かしたときの変化率である
• 勾配ベクトル $\nabla f$ は偏微分を並べたものである
• 勾配ベクトルは gradient とも呼ばれ、$\operatorname{grad} f$ と書くこともある
• 方向微分は $\nabla f\cdot \mathbf{u}$ で表される
• 勾配ベクトルは最も急に増える方向を向く
• 勾配ベクトルは等高線に垂直である

という点です。

ここで初めて

$$\nabla$$

が本格的に現れました。

次回は、このナブラをさらに使って、

• ベクトル場
• 流れ場
• 力場

を見ていきます。 スカラー場の次は、各点にベクトルが対応する世界へ進みます。