ベクトル解析完全講座 第1回 ベクトルとは何か

今回は、今までの単発の記事よりも少し腰を据えて、全 12 回の講座 という形で進めていきます。

この講座では、ベクトル解析を次の流れで見ていきます。

ベクトル → ベクトル関数 → 勾配 → 発散 → 回転 → 積分 → ガウス・ストークス

この第 1 回では、ベクトル解析で扱うベクトルについて、定義や考え方をしっかり見ていきます。

高校でもベクトルは出てきますが、ベクトル解析ではベクトルを

• 図形の道具
• 空間内の点や移動を表す記述
• 関数や場を作るための基本単位

として使います。

つまり、ただ計算ができればよいというより、

ベクトルを空間の中の対象としてどう見るか

が重要になります。

この記事では、その立場からベクトルを整理し直します。

1. 今回学ぶこと

この記事では、次の内容を扱います。

• ベクトル解析でいうベクトルの意味
• $\mathbb{R}^2$、$\mathbb{R}^3$ のベクトル
• ノルム
• 零ベクトルと単位ベクトル
• 位置ベクトル
• 線形結合

ゴールは

ベクトルを、図形と成分の両方から理解し、ベクトル解析の出発点として使えるようにすること

です。

2. 直感的なイメージ

ベクトル解析では、空間の中にあるものをたくさんベクトルで表します。

たとえば、

• 点の位置
• 点の移動
• 速度
• 力
• 曲線に沿った接線方向

などです。

このときベクトルは、単なる「矢印の図」ではなく、

空間の中で向きと大きさをもつ量を表す記号

として使われます。

さらにあとで出てくるベクトル値関数

$$\mathbf{r}(t)= \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{pmatrix}$$

やベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)$$

も、結局は「各点でベクトルがどう与えられるか」を扱っています。

なので第 1 回では、ベクトルを高校の復習として軽く流すのではなく、

この先ずっと使う基本言語

として整えておく必要があります。

3. 基本事項

3.1 ベクトル解析でいうベクトル

ベクトル解析では、まず 2 次元や 3 次元の実数空間を考えます。

2 次元なら

$$\mathbb{R}^2=\left\{ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \middle| x,y\in\mathbb{R} \right\}$$

3 次元なら

$$\mathbb{R}^3=\left\{ \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \middle| x,y,z\in\mathbb{R} \right\}$$

です。

ベクトル解析でいうベクトルとは、基本的にはこれらの空間の元です。

つまり 2 次元では

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$$

3 次元では

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$$

のような実数の組をベクトルとして扱います。

ここで大事なのは、

ベクトルは「数の組」であると同時に、「空間の中の向きと大きさ」を表している

ということです。

この 2 つの見方を行き来しながら考えるのが、ベクトル解析の基本です。

図のように、同じ $(2,1)$ という情報が、点としても、原点からその点へ向かうベクトルとしても見られます。 この「座標の組」と「向きと大きさ」を対応させる見方が、ベクトル解析の出発点です。

3.2 ベクトルの表記

本講座では、ベクトルを

$$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{r}$$

のように太字で表します。

また、表記は

• 点は $(x,y,z)$ のような丸括弧
• ベクトルは $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ のような列ベクトル

で統一していきます。

これは、点とベクトルを見分けやすくするためです。

特に

$$\mathbf{r}= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$$

は位置ベクトルを表す記号として頻繁に登場します。

3.3 ベクトルの和と実数倍

ベクトル空間としてまず必要なのは、ベクトルどうしを足せることと、実数倍できることです。

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$$

に対して、

$$\mathbf{a}+\mathbf{b}= \begin{pmatrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3 \end{pmatrix}$$

と定めます。

また、実数 $c$ に対して

$$c\mathbf{a}= \begin{pmatrix} ca_1\\ ca_2\\ ca_3 \end{pmatrix}$$

と定めます。

これは単なる計算規則ではありません。

• 和は移動の合成
• 実数倍は長さの拡大縮小と向きの反転

を表しています。

たとえば $2\mathbf{a}$ は $\mathbf{a}$ と同じ向きで長さが 2 倍のベクトルであり、 $-\,\mathbf{a}$ は長さは同じで向きが逆のベクトルです。

3.4 線形結合

ベクトル解析では、ベクトルの和と実数倍を組み合わせた

$$c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+\cdots+c_n\mathbf{a}_n$$

という形を何度も使います。

これを 線形結合 といいます。

ここで

$$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$$

のようなベクトルは、座標軸方向を表す基本ベクトルであり、標準基底 と呼ばれます。

たとえば 2 次元では、

$$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

を使うと、任意のベクトル

$$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$

は

$$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2$$

と書けます。

3 次元でも

$$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_3= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

を使って

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3$$

と書けます。

この見方はとても重要です。 なぜなら、空間内のベクトルが「基本ベクトルの組み合わせ」として表せることが、そのまま成分表示の意味だからです。

図では、まず $\mathbf{e}_1$ 方向に 2 だけ進み、次に $\mathbf{e}_2$ 方向に 1 だけ進むことで

$$\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$$

ができています。 つまり成分表示とは、標準基底を何倍ずつ足したかを表しているわけです。

3.5 ノルム

ベクトルの大きさを測る量を ノルム といいます。

ベクトル解析で最も基本になるのはユークリッドノルムで、

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$$

に対して

$$\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

と定めます。

2 次元なら

$$\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

です。

高校では絶対値記号 $|\mathbf{a}|$ で書くことも多いですが、大学以降は数の絶対値と区別して

$$\|\mathbf{a}\|$$

と書くことがよくあります。

この記法は今後の講座でも使っていきます。

ノルムは単に長さを表すだけでなく、

• ベクトルが 0 に近いか
• 単位ベクトルになっているか
• 距離がどれくらいか

を判断する基準になります。

実際、2 つのベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の距離は

$$d(\mathbf{a},\mathbf{b})=\|\mathbf{a}-\mathbf{b}\|$$

で定義されます。

この距離の考え方は、後で極限や連続を定義するときに重要になります。

図の直角三角形を見ると、ベクトル

$$\begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$$

の長さが、横 3、縦 4 の三平方で求まることが分かります。 ノルムは、まさにこの斜辺の長さです。

3.6 零ベクトルと単位ベクトル

$$\mathbf{0}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

や

$$\mathbf{0}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

のようなベクトルを 零ベクトル といいます。

零ベクトルは長さ 0 のベクトルで、向きを持ちません。

また、ノルムが 1 のベクトルを 単位ベクトル といいます。

ベクトル $\mathbf{a}\neq\mathbf{0}$ に対して

$$\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}$$

は $\mathbf{a}$ と同じ向きの単位ベクトルです。

たとえば

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$$

なら

$$\|\mathbf{a}\|=5,\quad \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}= \begin{pmatrix} \frac35\\[2pt] \frac45 \end{pmatrix}$$

です。

単位ベクトルが重要なのは、向きを長さから切り離して扱えるからです。

このあと内積を使って角度を考えるときも、勾配の向きを考えるときも、線積分で接線方向をそろえるときも、単位ベクトルは基本になります。

3.7 位置ベクトル

ベクトル解析では、点 $P=(x,y,z)$ をそのまま扱うよりも、 原点 $O$ から点 $P$ へ向かうベクトル

$$\overrightarrow{OP}$$

で考えることが多くなります。

これを 位置ベクトル といいます。

位置ベクトルを使うと、点を

空間内の場所

としてではなく、

原点からどのように到達するか

として記述できます。

たとえば

$$P=(2,-1,3)$$

なら、その位置ベクトルは

$$\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$$

です。

この見方を使うと、2 点 $A,B$ に対して

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$

と書けます。

つまり「点から点への移動」が、位置ベクトルの差として表されます。

これは後で曲線

$$\mathbf{r}(t)$$

を考えるときに、そのまま

時刻 $t$ における点の位置

を表す形につながります。

図の $\overrightarrow{OP}$ は、点 $P$ の位置そのものを表しています。 また、$\overrightarrow{AB}$ は 2 点 $A,B$ の位置ベクトルの差として表されており、「どこからどこへ動いたか」が差で書けることも読み取れます。

3.8 ベクトルは点ではない

ここで 1 つ注意があります。

成分表示が同じなので、

$$P=(2,1),\quad \overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$$

を同じもののように見てしまいがちです。

実際、座標としては同じ数字が並びます。 しかし意味は違います。

• $P=(2,1)$ は点
• $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ はベクトル

です。

点は「場所」であり、ベクトルは「向きと大きさをもつ量」です。

ただし位置ベクトルを使うことで、点をベクトルとして扱えるようになるので、計算上はとても便利になります。

ベクトル解析では、この区別と対応を意識しておくことが重要です。

4. 例題

例題 1

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$$

について、次を求めよ。

1. $\|\mathbf{a}\|$
2. $\mathbf{a}$ と同じ向きの単位ベクトル
3. $\mathbf{a}$ を $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ の線形結合で表した式

解答

まず

$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{14}$$

です。

したがって単位ベクトルは

$$\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$$

です。

また、

$$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_3= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

なので

$$\mathbf{a}=2\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+3\mathbf{e}_3$$

と書けます。

例題 2

点

$$A=(1,2,-1),\quad B=(3,-1,4)$$

に対して、$\overrightarrow{AB}$ を求めよ。

解答

位置ベクトルを使うと

$$\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}$$

なので

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 5 \end{pmatrix}$$

です。

ここで見えているのは、点と点の差が移動ベクトルになっているということです。

5. 練習問題

練習問題 1

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}$$

のノルムを求めてください。

解答を見る

$$\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

です。

練習問題 2

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$$

と同じ向きの単位ベクトルを求めてください。

解答を見る

まず

$$\|\mathbf{a}\|=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$$

なので、同じ向きの単位ベクトルは

$$\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}= \begin{pmatrix} -\frac23\\ \frac13\\ \frac23 \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 3

$$\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}$$

を $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ の線形結合で表してください。

解答を見る

$$\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 4 \end{pmatrix} =3\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_2+4\mathbf{e}_3$$

です。

練習問題 4

点

$$A=(2,0,1),\quad B=(-1,3,5)$$

に対して、$\overrightarrow{AB}$ を求めてください。

解答を見る

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 5

なぜ零ベクトルには向きがないと考えるのか、自分の言葉で説明してみてください。

解答を見る

零ベクトルは長さが 0 なので、「どちらへ向いているか」を区別する情報を持ちません。 向きだけを変えたとしても同じ零ベクトルのままなので、向きは定まらないと考えます。

6. まとめ

ベクトル解析でいうベクトルは、$\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ の元として与えられる実数の組です。

ただし、それは単なる数の並びではなく、

空間の中の向きと大きさをもつ量

として理解されます。

今回見たポイントをまとめると、

• ベクトルは和と実数倍ができる
• ベクトルは線形結合で表せる
• ノルムはベクトルの大きさを与える
• 零ベクトルと単位ベクトルは基本的な特別例である
• 位置ベクトルによって点をベクトルとして扱える
• 点の差は移動ベクトルになる

ということでした。

ベクトル解析では、曲線は位置ベクトル

$$\mathbf{r}(t)$$

で表され、勾配・発散・回転はベクトルを使って定義されます。

そのため、今回学んだ

• 線形結合
• ノルム
• 単位ベクトル
• 位置ベクトル

は、今後のすべての内容の土台になります。

この見方を持っておくと、次回の内積と外積も「ただの公式」ではなく、ベクトルどうしの関係を測る道具として理解しやすくなります。

次回は、ベクトルの長さや向きだけでなく、

• 2 つのベクトルがどれくらい同じ向きを向いているか
• 2 つのベクトルがどれくらい広がりを作るか

を見るために、内積と外積 を扱います。