ベクトル解析完全講座 第12回 ストークスの定理

第 11 回では、面積分

$$\iint_S \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS$$

と、発散定理

$$\iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS$$

を見ました。

今回はそれと対になる定理として、

境界曲線に沿ってまわる量と、面の上での回転の総量を結びつける定理

を考えます。

これが ストークスの定理 です。

1. 今回学ぶこと

この記事では、次の内容を扱います。

• ストークスの定理
• 線積分と面積分の関係
• 回転の面積分
• ガウスの発散定理との比較

2. 直感的なイメージ

ベクトル場を流れ場だと思ってください。

ある曲面 $S$ をとり、その境界に沿って 1 周する閉曲線 $C$ を考えます。

このとき、境界 $C$ に沿って流れがどれだけ回ろうとしているかを測るのが線積分

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

です。

一方で、第 9 回で見た回転

$$\operatorname{rot}\mathbf{F}$$

は、各点での局所的な回転傾向を表していました。

したがって、

面全体の中でどれだけ回転傾向が積み重なっているか

を足し合わせれば、境界を 1 周したときの回り方に対応しそうです。

この直感を正確に表したものがストークスの定理です。

3. 基本事項

3.1 ストークスの定理

向きを持つ曲面 $S$ と、その境界である閉曲線

$$C=\partial S$$

に対して、

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS$$

が成り立ちます。

これが ストークスの定理 です。

左辺は、境界曲線に沿うベクトル場の線積分です。

右辺は、回転ベクトル

$$\operatorname{rot}\mathbf{F}$$

の法線方向成分を面全体で足し合わせた面積分です。

つまりストークスの定理は、

境界に沿ってまわる量 = 面の上の回転の総量

を表しています。

3.2 なぜ回転の法線方向成分なのか

回転

$$\operatorname{rot}\mathbf{F}$$

はベクトルです。

しかし、曲面 $S$ に対して本当に効いているのは、その面に垂直な方向の回転だけです。

面に平行な方向の回転ベクトルは、その面をまたぐ小さな循環には直接効きません。

そこで

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}$$

によって、法線方向成分だけを取り出します。

これは第 11 回で、面積分で

$$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}$$

を使って法線方向成分を取り出したのと同じ考え方です。

3.3 向きの約束

ストークスの定理では、曲面の向きと境界曲線の向きが対応していなければなりません。

法線ベクトル $\mathbf{n}$ を決めると、境界曲線の正の向きは 右ねじの法則 で決まります。

たとえば法線が上向きなら、上から見て反時計回りが正の向きです。

この向きが逆になると、線積分の符号も面積分の符号も変わります。

3.4 小さな面の循環を足すという見方

ストークスの定理は、曲面を細かく分けて考えると、

• 各小片での局所的な回転
• それを全部足したときに残る境界の循環

が対応している定理だと思うとイメージしやすいです。

なぜそうなるのかをきちんと追うには、内部の共有辺がどう打ち消し合うかまで見る必要があります。 その説明は本体では深入りせず、補足記事に分けます。

寄り道

3.5 平面領域での見え方

$xy$ 平面内の領域 $D$ を上向き法線

$$\mathbf{n}= \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 1 \end{pmatrix}$$

で見ると、ストークスの定理は

$$\oint_{\partial D} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dA$$

となります。

2 次元のベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y)= \begin{pmatrix} P(x,y)\\[0.35em] Q(x,y) \end{pmatrix}$$

を 3 次元に持ち上げて考えると、

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

です。

したがって平面では、境界に沿う線積分が、領域全体の回転の総量と一致することになります。

3.6 具体例

ベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} -y\\[0.35em] x\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

を考え、$S$ を $xy$ 平面上の単位円板、$C=\partial S$ をその境界の単位円とします。

第 9 回で見たように、

$$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 2 \end{pmatrix}$$

です。

法線を上向きにとると

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=2$$

なので、

$$\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_S 2\,dS = 2\pi$$

となります。

ストークスの定理より、これは境界円に沿う線積分

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

の値でもあります。

実際、境界円 $C$ を

$$\mathbf{r}(t)= \begin{pmatrix} \cos t\\[0.35em] \sin t\\[0.35em] 0 \end{pmatrix} \qquad (0\le t\le 2\pi)$$

とおくと、

$$\mathbf{r}'(t)= \begin{pmatrix} -\sin t\\[0.35em] \cos t\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

です。

また

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))= \begin{pmatrix} -\sin t\\[0.35em] \cos t\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

なので、

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \sin^2 t+\cos^2 t =1$$

となります。

したがって

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi}1\,dt =2\pi$$

です。

このように、面積分を計算しても線積分を計算しても同じ値 $2\pi$ になります。

つまりこの場では、円板全体に一様な回転傾向が広がっており、その総量が境界の循環として現れます。

3.7 ガウスの発散定理との比較

第 11 回のガウスの発散定理は

$$\iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS$$

でした。

これは

• 内部の湧き出し量
• 境界面を通る流束

を結びつける定理です。

一方、ストークスの定理は

• 面の上の回転の総量
• 境界曲線に沿う循環

を結びつけます。

つまり

• ガウスの定理は 体積と面
• ストークスの定理は 面と線

を結ぶ定理です。

この対応を見ると、ベクトル解析全体がきれいに整理されます。

4. 例題

例題 1

ベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} -y\\[0.35em] x\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

に対して、$xy$ 平面上の半径 1 の円板を上向きに向けたとき、

$$\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS$$

を求めよ。

解答

$$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 2 \end{pmatrix}$$

です。

したがって

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=2$$

です。

円板の面積は $\pi$ なので、

$$\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS = 2\pi$$

です。

例題 2

ベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1\\[0.35em] 0\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

に対して、任意の曲面 $S$ とその境界 $C$ について

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

の値を求めよ。

解答

このベクトル場では

$$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

です。

したがって面積側は

$$\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS =0$$

です。

また線積分の側も

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \oint_C 1\,dx$$

ですが、閉曲線では始点と終点の $x$ 座標が同じなので

$$\oint_C 1\,dx=0$$

です。

したがってこちらも 0 で、両辺が一致します。

例題 3

ストークスの定理とガウスの発散定理の違いを説明せよ。

解答

ストークスの定理は、面の上の回転の総量と、その境界曲線に沿う循環を結びつけます。

ガウスの発散定理は、立体内部の発散の総量と、その境界面を通る流束を結びつけます。

つまり、前者は面と線の関係、後者は体積と面の関係を扱っています。

5. 練習問題

練習問題 1

ベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} -y\\[0.35em] x\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

の回転を求めてください。

解答を見る

$$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 2 \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 2

ベクトル場

$$\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} 0\\[0.35em] 0\\[0.35em] 0 \end{pmatrix}$$

に対して、

$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

の値を求めてください。

解答を見る

常に 0 ベクトルなので、線積分も 0 です。

ストークスの定理を使っても、回転が 0 なので値は 0 です。

練習問題 3

ストークスの定理で、右辺に

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}$$

が現れる理由を説明してください。

解答を見る

回転はベクトルですが、曲面に対して効くのは法線方向成分だからです。

したがって、面に垂直な向きの回転だけを取り出すために

$$(\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}$$

が現れます。

練習問題 4

ストークスの定理とガウスの発散定理が、それぞれ何と何を結びつける定理かを説明してください。

解答を見る

ストークスの定理は、面の上の回転の総量と境界曲線に沿う循環を結びつけます。

ガウスの発散定理は、体積内部の発散の総量と境界面を通る流束を結びつけます。

6. まとめ

今回は、境界曲線に沿う線積分と、面の上の回転の総量を結びつける ストークスの定理 を見ました。

重要だったのは、

• ストークスの定理は $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_S (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS$ である
• 線積分による循環と、回転の面積分が対応している
• 右辺では回転の法線方向成分だけを見ている
• 曲面の向きと境界曲線の向きは右ねじの法則で対応する
• ガウスの定理が体積と面を結ぶのに対して、ストークスの定理は面と線を結ぶ

という点です。

ここまでで、

• 勾配
• 発散
• 回転
• 線積分
• 面積分
• ガウスの発散定理
• ストークスの定理

という、ベクトル解析の基本的な道具を一通り見ました。

個々の公式を別々に覚えるのではなく、

• スカラー場から勾配が生まれる
• ベクトル場から発散や回転が生まれる
• それらを積分すると、境界との関係を表す定理が現れる

という流れで見ると、全体が 1 本につながって見えてきます。

この第 12 回で、ベクトル解析完全講座は完結です。

もちろん各定理の厳密な証明や、より一般の曲面・曲線での扱いなど、先にはまだ発展的な内容があります。 ただ少なくとも、

• ベクトルとは何か
• ベクトル場をどう読むか
• 勾配・発散・回転が何を表すか
• 線積分・面積分と境界の関係をどう見るか

というベクトル解析の基本的な地図は、ここまでで一通りそろいました。