ベクトル解析完全講座 第2回 内積と外積

第 1 回では、ベクトルを

空間の中の向きと大きさをもつ量

として整理しました。

今回はその続きとして、

2 つのベクトルの関係をどう測るか

を見ていきます。

ベクトルが 1 本だけなら、その大きさや向きだけを考えれば十分です。 しかしベクトル解析では、2 本のベクトルが

• どれくらい同じ向きを向いているか
• 直交しているか
• どれくらい広がりを作るか
• どちら向きに回っているか

を調べる場面が何度も出てきます。

そのための基本的な道具が、内積 と 外積 です。

1. 今回学ぶこと

この記事では、次の内容を扱います。

• 内積
• 内積の定義
• なす角
• 直交条件
• 外積
• 外積の定義
• 面積との関係
• 右ねじの法則

ゴールは

ベクトル同士の関係を、内積と外積によって計算し、意味と一緒に説明できるようにすること

です。

2. 直感的なイメージ

まず、大まかなイメージを先に置いておきます。

内積は、

2 つのベクトルがどれくらい同じ向きを向いているか

を見る量です。

向きがよくそろっていれば大きくなり、 直交していれば 0 になり、 逆向きに近ければ負になります。

一方で外積は、

2 つのベクトルがどれくらい面積を作るか、そしてその面に垂直な向きがどちらか

を見る量です。

つまり、

• 内積は「向きのそろい具合」
• 外積は「広がりと向き」

を測る道具だと思えばよいです。

3. 基本事項

3.1 内積の定義

3 次元ベクトル

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$$

に対して、内積 を

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

で定めます。

2 次元なら

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}$$

に対して

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2$$

です。

これは成分どうしを掛けて足しているだけです。 しかし、この量は単なる計算結果ではなく、あとで見るように角度の情報を持っています。

3.2 内積となす角

図では、$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方向へ落とした長さが $\|\mathbf{a}\|\cos\theta$ になっています。 内積は、この「$\mathbf{b}$ 方向にどれだけ進んでいるか」を長さとして取り出している量だと見ることができます。

内積の最も重要な意味は、

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta$$

と書けることです。

ここで $\theta$ は、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角です。

この式から、内積には次の意味があることがわかります。

• $\theta$ が小さいほど $\cos\theta$ は大きいので、内積は大きくなる
• $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta=0$ なので、内積は 0 になる
• $\theta>\dfrac{\pi}{2}$ なら $\cos\theta<0$ なので、内積は負になる

つまり内積は、「向きの一致度」を数として表しているわけです。

特に、$\mathbf{a},\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ なら

$$\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}$$

なので、内積から角度も求められます。

3.3 直交条件

特に重要なのは、2 つのベクトルが直交する条件です。

$\mathbf{a},\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ に対して、

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$$

ならば

$$\cos\theta=0$$

なので

$$\theta=\frac{\pi}{2}$$

です。

したがって、

2 つのベクトルが直交することと、内積が 0 であることは同値

です。

これは計算上とても便利です。 直角かどうかを図で判断する代わりに、成分計算だけで確かめられるからです。

3.4 射影という見方

内積は、片方のベクトルをもう片方の方向にどれだけ落としたか、という見方でも理解できます。

たとえば $\mathbf{b}$ を固定すると、

$$\|\mathbf{a}\|\cos\theta$$

は $\mathbf{a}$ の $\mathbf{b}$ 方向の成分です。

したがって

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{b}\| \times (\mathbf{a}\text{ の }\mathbf{b}\text{ 方向成分})$$

と見ることもできます。

逆に言えば、$\mathbf{a}$ の $\mathbf{b}$ 方向成分は

$$\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}$$

で求められます。

もちろん、向きまで含めた符号つきの量として見ているので、角度が鈍角ならこの値は負になります。

この見方は、あとで方向微分や線積分を考えるときに自然につながります。

3.5 外積の定義

外積は 3 次元で定義される演算です。

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$$

に対して、外積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ を

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$$

で定めます。

成分表示だけ見ると少し複雑ですが、意味ははっきりしています。

外積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ は

• $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に垂直
• 大きさは $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が作る平行四辺形の面積
• 向きは右ねじの法則で決まる

というベクトルです。

3.6 外積の大きさと面積

図の平行四辺形で、底辺を $\|\mathbf{a}\|$、$\mathbf{b}$ から下ろした高さを $\|\mathbf{b}\|\sin\theta$ と見れば、面積が

$$\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta$$

になることがそのまま読み取れます。

外積の大きさは

$$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta$$

となります。

ここで $\theta$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角です。

これはちょうど、2 本のベクトルが作る平行四辺形の面積になっています。

底辺を $\|\mathbf{a}\|$、高さを $\|\mathbf{b}\|\sin\theta$ と見れば、

$$\text{面積} = \|\mathbf{a}\|(\|\mathbf{b}\|\sin\theta) = \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|$$

だからです。

したがって三角形の面積は

$$\frac12\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|$$

で求められます。

3.7 右ねじの法則

図では、$\mathbf{e}_1$ から $\mathbf{e}_2$ へ回したときに、外積の向きが $\mathbf{e}_3$ になることを表しています。 つまり外積では、長さだけでなく「どちら向きに立つか」まで決まることが重要です。

外積は大きさだけでなく、向きも重要です。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ の向きは、 $\mathbf{a}$ から $\mathbf{b}$ へ右手の指を回したとき、親指の向く向きで決まります。 これを 右ねじの法則 といいます。

このため、外積は順番を入れ替えると符号が変わります。

$$\mathbf{b}\times\mathbf{a}=-(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$$

です。

つまり、内積は順番を入れ替えても同じですが、

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$$

外積は順番で向きが変わります。

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}\neq \mathbf{b}\times\mathbf{a}$$

です。

この違いはとても大事です。

4. 例題

例題 1

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}$$

とする。

1. $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ を求めよ
2. $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が直交するか判定せよ

解答

まず

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot2 = 2-2+4 = 4$$

です。

したがって

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\neq 0$$

なので、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は直交しません。

例題 2

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$$

とする。

1. $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ を求めよ
2. $\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|$ を求めよ

解答

成分公式から

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

です。

したがって

$$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=1$$

です。

実際、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は長さ 1 の直交ベクトルなので、作る平行四辺形は 1 辺 1 の長方形で、面積は 1 です。

5. 練習問題

練習問題 1

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$$

の内積を求めてください。

解答を見る

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2\cdot1+1\cdot3=5$$

です。

練習問題 2

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$$

が直交するか判定してください。

解答を見る

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0=0$$

なので、2 つのベクトルは直交します。

練習問題 3

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$$

の外積を求めてください。

解答を見る

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}$$

です。

練習問題 4

$$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$$

が作る平行四辺形の面積を求めてください。

解答を見る

$$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=6$$

なので、面積は 6 です。

練習問題 5

なぜ平行な 2 本のベクトルの外積は $\mathbf{0}$ になるのか、$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta$ を使って説明してください。

解答を見る

平行なら $\theta=0$ または $\theta=\pi$ です。 したがって

$$\sin\theta=0$$

なので

$$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta=0$$

です。

長さが 0 のベクトルは零ベクトルなので、

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$$

となります。

6. まとめ

内積と外積は、どちらも 2 本のベクトルの関係を調べるための基本的な道具です。

内積については、

• 成分どうしを掛けて足す
• $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta$
• 直交条件は $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$

という点が重要でした。

外積については、

• 3 次元で定義される
• $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ は 2 つのベクトルに垂直
• $\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta$
• その大きさは平行四辺形の面積になる
• 向きは右ねじの法則で決まる

という点が重要でした。

ベクトル解析では、このあと曲線の接ベクトル、曲面の法線ベクトル、線積分、面積分などが出てきます。 そのたびに

• 内積で向きの成分を取り出す
• 外積で面積や法線方向を作る

という考え方を使います。

次回は、ベクトルをさらに空間の中で使うために、直線と平面の方程式 を扱います。 位置ベクトルや法線ベクトルが、具体的にどのように図形を記述するかを見ていきます。