負の二項分布

コラム公開: 2026/8/11

サムネ確率分布の一つである負の二項分布の基礎知識について解説します。

1. 負の二項分布とは

負の二項分布とは、次のような状況を考える確率分布です。

確率 $p$ で起こる事象が $r$ 回起こるまでに、その事象が起こらなかった回数 $X$ の確率分布

例えば、「サイコロを振って、1の目が3回出るまでに、それ以外の目が何回出るか？」といった例が挙げられます。

失敗する確率を $q = 1 - p$ とすると、失敗の回数が $k$ 回となる確率 $P(X=k)$ は次のように表されます。

P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} p^r q^k \quad (k = 0, 1, 2, \dots)

※ $\binom{n}{k}$ は ${}_n\mathrm{C}_k$ と同じ意味である。　すなわち、　 $\binom{k+r-1}{k}={}_{k+r-1}\mathrm{C}_k$ 　である。

コンビネーションの中身が $k+r-1$ となってますね。普通の二項分布なら $n$ 回中 $k$ 回成功する確率だからシンプルだったんですが…。

この式が表している状況を具体的に思い浮かべてみましょう。

確率 $P(X=k)$ は、 $k$ 回失敗して $r$ 回成功する確率です。

ただし、一番最後の試行は、必ず $r$ 回目の成功で終わらなければなりません。

つまり、全体の試行回数は $(k+r)$ 回になりますが、最後の1回は必ず成功し、それ以前の $(k+r-1)$ 回では $(r-1)$ 回の成功と $k$ 回の失敗が任意の順番で起こるという状況になります。

それ以前の $(k+r-1)$ 回での並び替えの総数は $\binom{k+r-1}{k}$ 通りです。そこに、全部で成功が $r$ 回、失敗が $k$ 回起こる確率 $p^r q^k$ を掛けているというわけです。

サイコロを繰り返し振り、1の目が合計3回出るまでに、1以外の目がちょうど5回出る確率を求めよ。

【解答と解説】

この問題は、成功確率 $p = \frac{1}{6}$ 、失敗確率 $q = \frac{5}{6}$ 、目標成功回数 $r = 3$ の負の二項分布において、失敗回数 $X = 5$ となる確率を求める問題です。

公式に当てはめて、以下のようになります。

\begin{aligned} P(X=5) &= \binom{5+3-1}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^5 \\ &= \binom{7}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^5 \\ &= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times \frac{1}{6^3} \times \frac{5^5}{6^5} \\ &= 21 \times \frac{3125}{1679616} \\ &= \frac{65625}{1679616} (\approx 0.039) \end{aligned}

【答え】

$\displaystyle{\frac{65625}{1679616}}$

最後に3回目の1が出るという状況を固定し、最初の7回の中で1が2回、それ以外が5回出るパターンを計算しているんですね。

式の意味が分かれば、丸暗記しなくてもその場で式を組み立てることができますね。

負の二項分布の特別なケースとして、幾何分布があります。幾何分布は、「初めて成功するまでに、何回失敗するか」を表す分布です。

初めて成功するまでということは、目標成功回数 $r$ が $r = 1$ の時ということですか？

そうです。負の二項分布の式に $r = 1$ を代入してみましょう。

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+1-1}{k} p^1 q^k \\ &= \binom{k}{k} p q^k \\ &= p q^k \quad (k = 0, 1, 2, \dots) \end{aligned}

これは、幾何分布の確率関数そのものです。（ $k$ 回連続で失敗 $q^k$ して、次に成功 $p$ する確率）つまり、幾何分布は負の二項分布の特別な場合（ $r=1$ ）であると言えます。

当たる確率が5\%のガチャが初めて当たるまでに、ハズレをちょうど19回引く確率を求めよ。

【解答と解説】

これは $r=1$ の負の二項分布、すなわち幾何分布の問題です。成功確率 $p = 0.05$ 、失敗確率 $q = 0.95$ で、失敗回数 $X = 19$ となる確率を求めます。

\begin{aligned} P(X=19) &= \frac{5}{100} \times \left(\frac{95}{100}\right)^{19} \\[6pt] &= \frac{1}{20} \times \left(\frac{19}{20}\right)^{19} \\[6pt] &= \displaystyle \frac{19^{19}}{20^{20}}\quad (\approx 0.0377) \end{aligned}

【答え】

$\displaystyle \frac{19^{19}}{20^{20}}$

ぽてと