オイラーの公式はなぜ成り立つのか

数学には、短い式の中に、いろいろな考え方がつながっている公式があります。

その代表の1つが、数学でもとても有名な オイラーの公式 です。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

実は、筆者が一番好きな公式でもあります。

一見すると別々のものに見える指数関数と三角関数が、複素数を通して1つの式でつながる。 このつながりのきれいさが、好きなところです。

しかも、この公式は見た目がきれいなだけでなく、回転や波を表したり、電気回路や信号を扱ったりするときにも役立ちます。 数学の中でも、その応用でも、いろいろな場面で顔を出す公式です。

この関係は、すべての実数 $x$ に対して成り立ちます。

ただ、式を見ただけでは、

どうして指数関数から cos や sin が出てくるのか

は、なかなか見えてきません。

その理由を知るために使うのが、テイラー展開 です。 指数関数をべきの足し算で表して整理すると、その中に cos と sin の展開式が現れます。

この記事では、まず指数関数を複素数まで広げ、展開式を使ってオイラーの公式を導きます。 そのあとで、この公式が円の上の回転とどうつながるのかを見ていきます。

1. 指数関数を複素数まで広げる

まず、実数 $x$ に対して成り立つ、次のマクローリン展開を考えます。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

今回は、この式を出発点にします。 展開の考え方や係数の決まり方を確認したい場合は、こちらに寄り道してみてください。

寄り道

右辺にあるのは、べき乗と足し算です。 これらの計算は、複素数に対してもできます。

そこで、

この展開式を使って、指数関数を複素数まで広げられないか

と考えます。

実数の $x$ についての式に、いきなり $ix$ を入れてもいいんですか？ そこが大切です。実数で成り立つ式なら何でも虚数を代入できる、というわけではありません。今回は、この足し算の式を使って、複素数の指数関数を定義します。

複素数 $z$ に対して、

$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots$$

と定義します。

この右辺は、どの複素数 $z$ でも一定の値に近づきます。¹ また、$z$ が実数なら、先ほどの $e^x$ と一致します。

複素数の計算を確認したい場合は、こちらで整理しています。

寄り道

2. 展開式からオイラーの公式を導く

複素数の指数関数を定義できたので、$e^{ix}$ を計算してみましょう。 展開式を整理し、三角関数の展開式と見比べます。

2.1 $e^{ix}$ を展開して整理する

ここで、$x$ を実数として $z=ix$ とすると、

$$e^{ix} =1+ix+\frac{(ix)^2}{2!} +\frac{(ix)^3}{3!} +\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots$$

となります。

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ を使って、各項を整理します。

すると、

$$e^{ix} =1+ix-\frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} +i\frac{x^5}{5!} -\frac{x^6}{6!} -i\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

です。

少し長い式ですが、$i$ が付いていない項と、付いている項 に分けてみましょう。

$$\begin{aligned} e^{ix} &=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right)\\ &\quad+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right) \end{aligned}$$

無限の足し算では、いつでも自由に項をまとめ直せるわけではありません。 ただし、今回の級数は 絶対収束 という性質を持つので、このように分けても和は変わりません。¹

ここまでで、2つのかっこの中に、違う数の並びが現れました。

2.2 cos と sin の展開式と見比べる

同じように、三角関数をマクローリン展開すると、次の式になります。

$$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$ $$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

これらも、すべての実数 $x$ について成り立ちます。 どちらも、テイラー展開の記事で微分から係数を求めた展開式です。

先ほどの2つのかっこと見比べると、

• $i$ が付いていない部分は $\cos x$
• $i$ をくくり出した残りの部分は $\sin x$

に、そのまま一致しています。

したがって

$$\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}$$

となります。

これが、オイラーの公式が成り立つ理由です。

指数の式の中に、本当に cos と sin の並びが入っていたんですね。 そうです。$i$ の累乗が $1,i,-1,-i$ とくり返すことで、偶数乗の項と奇数乗の項に、それぞれ cos と sin の符号の並びが現れます。

3. オイラーの公式を図形として見る

ここまでは、$x$ を実数の変数として、展開式を計算してきました。 今度は、得られた公式を単位円と結びつけてみます。

右辺 $\cos x+i\sin x$ を、平面上の点として見てみます。 複素数 $a+bi$ を点 $(a,b)$ に対応させると、これは

$$(\cos x,\sin x)$$

という点です。

三角関数の記事では、この座標が単位円の上の位置を表していました。 単位円との対応を確認したい場合は、こちらに寄り道してみてください。

寄り道

この図の横の座標を実数の部分、縦の座標を $i$ の係数として読みます。

つまり、オイラーの公式は

$e^{ix}$ は、1 の位置から角度 $x$ だけ回った単位円上の点を表す

と読むことができます。ここで回転の角度はラジアンで考えます。 $x$ が増えると反時計回りに進み、$x$ が $2\pi$ 増えると同じ位置に戻ります。

$x$ に具体的な値を入れると、次のようになります。

$x$	$e^{ix}$	円の上の位置
$0$	$1$	右
$\dfrac{\pi}{2}$	$i$	上
$\pi$	$-1$	左
$\dfrac{3\pi}{2}$	$-i$	下
$2\pi$	$1$	右に戻る

ここまでは半径が 1 の円でしたが、原点からの距離が $r$ の点ならどうでしょうか。

単位円上の点を $r$ 倍すればよいので、その点を表す複素数は

$$z=r(\cos x+i\sin x)=re^{ix}$$

と書けます。このように、複素数を 原点からの距離と向きで表す書き方 を 極形式 と呼びます。

$a+bi$ が「横にどれだけ、縦にどれだけ」で表す書き方なら、$re^{ix}$ は「どの向きに、どれだけ離れているか」で表す書き方です。 オイラーの公式を使うと、この距離と向きをひとまとまりの式で表せます。

4. オイラーの等式

オイラーの公式に $x=\pi$ を入れてみます。

$$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi$$

単位円での値を使うと、

$$\cos\pi=-1,\quad \sin\pi=0$$

です。

したがって

$$e^{i\pi}=-1$$

となり、両辺に 1 を足すと

$$\boxed{e^{i\pi}+1=0}$$

を得ます。これを オイラーの等式 と呼びます。

$e,i,\pi,1,0$ という数が1つの式に集まるので、不思議に見えるかもしれません。

でも、円の上で考えると、

1 の位置から半周すると、$-1$ に着く

ということを表しています。

まとめ

オイラーの公式は、実数 $x$ に対して成り立つ

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

という関係です。

成り立つ理由をたどると、

• 指数関数の展開式を使って、複素数の指数関数を定義する
• $e^{ix}$ を展開し、$i$ の累乗を計算する
• 実数の部分と $i$ の付く部分に分ける
• それぞれが $\cos x$ と $\sin x$ の展開式に一致する

という流れでした。

つまり、

指数関数を複素数まで広げると、その展開式の中に三角関数が現れる

ということです。

さらに、右辺を平面上の点として見ると、$e^{ix}$ は単位円上の位置を表します。 そして $x=\pi$ を代入すると、オイラーの等式

$$e^{i\pi}+1=0$$

が得られます。

展開式を通して見ることで、指数関数と三角関数、そして円の上の動きがどうつながるのかが見えてきます。

Footnotes

1. 【無限の足し算は本当に値が決まるのか】$e^z$ の展開で、各項の大きさは $|z|^n/n!$ です。ここで $|z|$ は、複素数平面で原点から $z$ までの距離を表します。$z\ne0$ のとき、次の項の大きさを今の項の大きさで割ると $|z|/(n+1)$ となります。$z$ を固定して $n$ を大きくすれば、この比は $1/2$ 以下になります。したがって、あるところから先の項は、半分、さらに半分という速さ以上に小さくなり、大きさを全部足しても有限の値に収まります。$z=0$ の場合は最初から和が 1 です。このように各項の大きさの和が収束することを「絶対収束」と呼びます。今回の級数で項をまとめ直せるのは、この性質があるためです。 ↩ ↩²