テイラー展開とは何か？関数を多項式の形で表す考え方

数学では、複雑な関数をもっと扱いやすい形で見たいことがあります。

そのとき重要になるのが テイラー展開 です。

テイラー展開とは一言で言うと

関数を多項式の形で表す考え方

です。

たとえば $e^x$ や $\sin x$ のような関数は、ある条件のもとで

$$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

のような形で表すことができます。

そして、このときそれぞれの係数は、実は微分によって決まります。

この記事では、まず $x=0$ のまわりで考える マクローリン展開 を具体例から見て、 そのあとで一般の テイラー展開 に進みます。

微分や極限の考え方にまだ慣れていない場合は、先にこちらを読んでみてください。

寄り道

寄り道

1. まずは具体例として $e^x$ を考える

まず、関数 $e^x$ が

$$e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

のような多項式の形で表せるとします。

では、$a_0,a_1,a_2,\dots$ はどう決まるのでしょうか。

ここで大事なのは、

係数を知りたければ、うまく項を消して取り出せばよい

ということです。

そのための道具として、微分が使えます。

1.1 $x=0$ を代入すると定数項がわかる

まず上の式に $x=0$ を代入すると

$$e^0=a_0$$

となります。

$e^0=1$ なので

$$a_0=1$$

です。

つまり定数項は 1 だとわかります。

1.2 微分すると次の係数がわかる

次に両辺を微分します。

$$e^x=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots$$

ここでまた $x=0$ を代入すると

$$e^0=a_1$$

なので

$$a_1=1$$

です。

さらにもう1回微分すると

$$e^x=2a_2+3\cdot2a_3x+4\cdot3a_4x^2+\cdots$$

となります。

ここで $x=0$ を代入すると

$$e^0=2a_2$$

なので

$$a_2=\frac{1}{2}$$

です。

同じことを続けると

$$a_3=\frac{1}{3!},\quad a_4=\frac{1}{4!},\quad \dots$$

となります。

したがって

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

となります。

これが $e^x$ の マクローリン展開 です。

なるほど、微分して $x=0$ を代入していくと、係数が順番に決まっていくんですね。 その通りです。マクローリン展開は、関数を多項式で表せるとしたら係数は何になるかを、微分を使って決めているわけです。

2. 一般の関数でも同じことをする

今度は $e^x$ に限らず、ある関数 $f(x)$ が

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

と表せるとします。

このとき、先ほどと同じように考えると

まず $x=0$ を代入して

$$f(0)=a_0$$

です。

次に1回微分すると

$$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots$$

なので

$$f'(0)=a_1$$

です。

さらに2回微分すると

$$f''(0)=2!a_2$$

となるので

$$a_2=\frac{f''(0)}{2!}$$

です。

同じことを続ければ

$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

となります。

したがって

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$$

となります。

これが マクローリン展開 の一般形です。

2.1 なぜ $n!$ が出てくるのか

ここで

$$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

の $n!$ が不思議に見えるかもしれません。

これは、$x^n$ を $n$ 回微分すると

$$n!$$

が前に出てくるからです。

たとえば

$$a_3x^3$$

を3回微分すると

$$6a_3=3!a_3$$

になります。

つまり、$n$ 回微分したときに係数をちょうど取り出すためには、そのぶんの $n!$ で割る必要があるわけです。

3. $\sin x$ でもやってみる

次は $\sin x$ を考えてみます。

$\sin x$ が

$$\sin x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

と表せるとします。

ここで、$\sin x$ を順に微分すると

$$\sin x,\quad \cos x,\quad -\sin x,\quad -\cos x,\quad \sin x,\dots$$

と周期的にくり返します。

そこで $x=0$ を代入していくと

• $\sin 0=0$
• $\cos 0=1$
• $-\sin 0=0$
• $-\cos 0=-1$

となるので

$$a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=0,\quad a_3=-\frac{1}{3!},\quad \dots$$

がわかります。

したがって

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

となります。

偶数次の項が消えて、奇数次の項だけが残るのも特徴です。

三角関数そのものの意味を先に整理したい場合は、こちらもおすすめです。

寄り道

4. $x=0$ 以外の点で考えるとテイラー展開になる

ここまでは $x=0$ のまわりで展開してきました。

では、$0$ ではなく $x=a$ のまわりで同じことをしたらどうなるでしょうか。

このときは

$$f(x)=b_0+b_1(x-a)+b_2(x-a)^2+b_3(x-a)^3+\cdots$$

のように、$(x-a)$ のべきで表すことを考えます。

そして先ほどと同じように

• $x=a$ を代入する
• 微分してから $x=a$ を代入する
• さらに微分して $x=a$ を代入する

という手順を進めると

$$b_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

となります。

したがって

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$

を得ます。

これが テイラー展開 です。

つまり

• $x=0$ のまわりで展開したものが マクローリン展開
• 一般の $x=a$ のまわりで展開したものが テイラー展開

という関係になっています。

5. いつでもこの形で表せるのか

ここで注意したいのは、

微分できる関数なら何でも、そのままテイラー展開と一致するとは限らない

ということです。

テイラー展開の形は作れても、元の関数と本当に一致するためには、もう少し条件が必要です。

この記事では細かい説明には立ち入りませんが、

各階微分可能で、しかもテイラー級数がもとの関数に収束する場合には、関数を多項式の形で表せる

という条件が必要です。

6. 多項式で表せると近似にも使える

ここまでの主役は、あくまで

関数を多項式の形で表すこと

でした。

そして、多項式の形で表せると、その途中までを使って

$$e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}$$

のような 近似 もできるようになります。

実際にグラフで見ると、$e^x$ と

$$1+x+\frac{x^2}{2}$$

は $x=0$ の近くでかなりよく重なっています。

ただし、$x=0$ から離れるほど少しずつズレていきます。

さらに、近似の次数を上げて

$$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}$$

まで使うと、$x=0$ の近くではもっと強く重なることがわかります。

このように、

ある点の近くでは元の関数をよく表し、離れると誤差が目立ってくる

というのが、テイラー展開を近似に使うときの基本的な見方です。

つまり近似は本体ではなく、

多項式で表せることから生まれる応用

だということです。

まとめ

テイラー展開とは

関数をある点のまわりで多項式の形に表す考え方

です。

流れをまとめると、

• まず関数がべきの形で表せると考える
• 係数を知るために微分する
• ある点を代入して係数を順番に決める
• その結果としてテイラー展開の式が得られる

ということでした。

特に $x=0$ のまわりで行うものが マクローリン展開 であり、 一般の $x=a$ のまわりで行うものが テイラー展開 です。

公式として書けば、マクローリン展開は

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$$

であり、

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

とも書けます。

また、一般のテイラー展開は

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$

であり、

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

とも書けます。

公式だけを覚えるより、

なぜその係数になるのか

を見ておくと、式の意味がかなりはっきりしてきます。