虚数とは何か？i の意味をゼロからわかりやすく解説

数学で

$$\sqrt{-1}$$

という記号を見ると、 多くの人がここで一度止まります。

• マイナスの平方根って何？
• そんな数は本当にあるの？
• 「虚数」と言われると、むしろ怪しく見える

という感覚です。

たしかに、今まで見てきた数だけを使うと、 これは急に不思議な話に見えます。

この記事では、虚数を

「変な記号」ではなく、今までの数の世界を自然に広げたもの

として順番に見ていきます。

1. なぜ虚数が必要になるのか

まず、次の方程式を考えます。

$$x^2 = 4$$

これは

$$x = 2,\;-2$$

と解けます。

では次はどうでしょうか。

$$x^2 = -1$$

この式を満たす実数はあるでしょうか。

実数では、

• 正の数を2乗すると正
• 負の数を2乗しても正
• 0 を2乗すると 0

です。

つまり、実数を2乗して -1 になることはありません。

したがって

実数の世界だけでは、$x^2=-1$ は解けない

ことになります。

じゃあ「解なし」で終わりではだめなんですか？ もちろん、それでもよい場面はあります。 ただ数学では、既存の数で解けない式が出てきたとき、数の世界を広げられないかを考えます。

整数では割り算がいつもできないので分数を作り、 分数でも $\sqrt{2}$ を表せないので無理数を考えたように、 ここでも

「2乗すると -1 になる数」を新しく導入しよう

と考えるわけです。

2. 虚数単位 i を定義する

そこで、数学では

$$i^2 = -1$$

を満たす新しい数 $i$ を導入します。

これを 虚数単位 と呼びます。

つまり

$$i = \sqrt{-1}$$

と考えることができます。

この $i$ を使えば、さきほどの

$$x^2=-1$$

は

$$x=i,\;-i$$

と書けます。

ここで大切なのは、

虚数は「適当に作った記号」ではなく、解けなかった方程式を解けるようにするための拡張

だということです。

3. 虚数はどんな数なのか

虚数という言葉だけを見ると、 「実在しない数」という意味に聞こえるかもしれません。

でも実際には、

実数とは違うルールで動く、新しく導入した数

と考えるほうが正確です。

例えば $i$ については

$$i^2=-1$$

が基本ルールです。

これを使うと、

$$i^3=i^2\cdot i = -i$$ $$i^4=i^2\cdot i^2 = 1$$

となります。

したがって、$i$ の累乗は

$$i,\;-1,\;-i,\;1$$

という4つの値を周期的に回っていきます。

なるほど、でたらめな数というより、 ちゃんと計算ルールを持った新しい数なんですね。

4. 実数と虚数を合わせたものが複素数

虚数は、ふつう単独で終わるより

$$a+bi$$

という形で使われます。

ここで

• $a$ は実数
• $b$ も実数

です。

この形の数を 複素数 と呼びます。

例えば

• $3+2i$
• $-1-i$
• $5$ （これは $5+0i$ と見なせます）
• $-4i$ （これは $0-4i$ と見なせます）

はすべて複素数です。

つまり複素数とは、

実数と虚数をまとめて入れた、より広い数の世界

なのです。

この見方をすると、実数は複素数の一部だと分かります。

5. 複素数の計算はどうするのか

複素数の計算では、 $i^2=-1$ を使いながら普通に展開します。

例えば

$$(2+i)+(3-4i)$$

なら、実部どうし・虚部どうしをまとめて

$$\begin{aligned} (2+i)+(3-4i) &=(2+3)+(1-4)i \\ &=5-3i \end{aligned}$$

です。

掛け算も同じです。

$$(1+i)(2+i)$$

を展開すると

$$\begin{aligned} (1+i)(2+i) &= 2+i+2i+i^2 \\ &= 2+3i-1 \\ &= 1+3i \end{aligned}$$

ここで $i^2=-1$ なので

となります。

つまりポイントは

最後に $i^2$ を見つけたら $-1$ に置き換える

ことです。

6. なぜこんな数を学ぶのか

虚数は、 最初は「方程式のために無理やり作った数」に見えるかもしれません。

しかし実際には、 複素数まで広げることで数学はとても自然になります。

例えば

• 2次方程式の解を統一的に扱いやすくなる
• 三角関数や指数関数との深い関係が見えてくる
• 波や回転をきれいに表せる

といった利点があります。

高校数学ではまず

実数では解けなかった方程式を解けるようにするために、虚数が導入された

という出発点を押さえれば十分です。

寄り道

まとめ

虚数は、

$$x^2=-1$$

のような 実数では解けない方程式 を解くために導入された数です。

その基本になるのが

$$i^2=-1$$

を満たす 虚数単位 $i$ です。

そして

$$a+bi$$

という形の数全体を 複素数 と呼びます。

つまり、

虚数とは、実数の世界を壊すものではなく、実数の世界を自然に広げたもの

なのです。

虚数が分かると、これまで別々に見えていた

• 方程式
• 三角関数
• 指数関数

が、あとで一気につながって見えてきます。