ドップラー効果の導出

始めに

皆さんはドップラー効果をどう覚えていますか？公式を丸暗記して、「音源分母で、、、」とかやっていませんか？それではドップラーの基本の問題しか解けず、本質を聞かれた時につまってしまいますよ！ドップラー効果の式はどのような理由で成り立っているのか、理解してみませんか？これを理解することによってドップラーについてのみならず、苦手な人が多い波動についてもより掴めるようになりますよ！まだ理解していない人は一度見ておくことを強くお勧めします！

導出に入る前に僕が一番大事だと思っていることを紹介させてください。ズバリ『何が変化していて、何が変化していないのか』これに着目しながら一緒に考えていきましょう！

ドップラーその1（音源が動く場合）

音源が動く場合について考えましょう。以下のような状況を考えます。

・音速$V$、音源の速度$v_s$、音源の振動数$f_0$ 仮に音源が静止しているとしましょう。音源の振動数は$f_0$ですので、音源は1秒間に$f_0$個の波を生み出します。また音速は$V$m/sなので、音源が1秒間音を発した場合、距離$V$mの中に$f_0$個の波が存在していますよね。

この時波一個分（波長$λ_0$）の大きさは

$$λ＝\frac{V}{f_0}$$

として表されます。

次に音源が動く場合を考えましょう。ある時刻に音源が音を発した時の1秒後について同じく考えます。すると今回の距離は前回と比べ少し変化していることに気づけるでしょうか。音速分の$V$mに加え、音源が移動した分の$v_0$m分さらに観測者との距離が短くなっています。この時に上の方法と同様にどれくらいの距離に$f_0$個の波が存在しているか考えます。ここでまだどのように考えるか思いついていない人は一回手を止めて考えてみてください。

自分なりの回答を出すことができたでしょうか。それでは続きをやっていきます。今回の音源が移動する場合は、$V-v_0$mの中に$f_0$個の波が存在しています。（下図参照）

つまりこの時は波長一個分の大きさを$λ'$として　以下の式が成り立ちます。

$$λ'=\frac{V-v_0}{f_0}$$

したがって観測者が観測する振動数を$f$とすると以下の式が成り立ちます。

$$f= \frac{V}{λ'}$$

そしてこの式に先ほどの$λ'$を代入して$f$について解くと、、、

$$\frac{V}{f} = \frac{V-v_0}{f_0}\\[3mm] f= \frac{V}{V-v_0} f_0$$

よく見てきたドップラーの式が出てきました。「ある距離に存在する波の個数で等式を立てる」それがドップラーの式の導出の一つ目の方法です。今回は観測者は静止している状況で考えましたが、観測者が動く場合は観測者が観測する振動数の式

$$f= \frac{V}{λ'}$$

この式における右辺の分子が観測者の速度分変化します。

それでは一つ目の導出は理解できたでしょうか？次は二つ目の導出に移りますよ。

ドップラーその2

さて、ドップラーの式導出二つ目ですが次は”伝播時間”の差から考えていきます。今回は音源、観測者がそれぞれ近づく場合を考えます。音源から観測者までの距離を$L$として、最初に波を出す時間を$t=0$、周波数を$f_0$、また周期を$T_0$とします。また、波源は$v_s$>0（観測者から遠ざかる向き）、観測者は$v_0$>0（音源に近づく向き）で動くものとします。 さて、条件より時刻$t=T_0$（1周期後）において波源は次の山を出します。この時、波源は$v_sT_0$だけ移動していることに注意してください。これら二つの波が観測者に届く時を考えます。

$$1つ目の山が届く時刻：t_1= \frac{L-v_0t_1}{V}$$ $$2つ目の山が届く時刻：t_2=T_0+ \frac{(L-v_0t_2+v_sT_0)}{V}$$

それぞれについて解説します。

まず$t_1$について、$t=0$に波源が山を出しているので波源の移動距離については考える必要はありませんね。一方観測者においては山が届く$t_1$の間に$v_0t_1$だけ移動するので、山を観測したときの観測者と音源との距離は$L-v_0t_1$となり、音速が$V$なので1つ目の式になります

次に$t_2$について。$T_0$が含まれることは容易に理解できると思います。$t=T_0$に山を出したからですね。ここから山が観測者に届くまでの時間を足せばいいのですね。まずは音源から着目したいと思います。音源は$v_s$で動いており、山を出したのは$t=T_0$なので山を出した瞬間の観測者と音源の距離は$L+v_sT_0$となりますね。次に観測者に着目します。観測者は山を受け取るまで$v_0$で動き続けます。そして山を受け取る時刻が$t=t_2$なので$v_0t_2$だけ前に進んでますね。以上より観測者が波を受け取った時の観測者と音源の間の距離は$L+v_sT_0-v_st_2$となり、音速は$V$なので2つめの式になるのですね。

まとめると

$$(\text{波が走る距離}) = L \underbrace{\pm \text{音源の移動分}}_{\text{出す位置の変化}} \underbrace{\pm \text{観測者の移動分}}_{\text{受ける位置の変化}}$$

ということですね。毎回音源と観測者の移動する向きによって正負が変わることに注意してくださいね。

ここまで理解できたでしょうか。ラストスパートに参りましょう。

まず先ほど示した二つの式をそれぞれ$t_1,t_2$について解きます。するとそれぞれ

$$t_1＝　\frac{L}{V+v_0}$$ $$t_2= \frac{VT_0+v_sT_0+L}{V+v_0}$$

となります。

ここで観測者が観測する音の周期を$T$とおくと、$T=t_2-t_1$とあらわされますので先ほどの式を代入して観測者が観測する周波数$f$を求めましょう。

$$f= \frac{1}{T}\\[3mm] = \frac{1}{t_2-t_1}\\[3mm]= \frac{1}{\frac{T_0(V+v_s)}{V+v_0}}\\[3mm]= \frac{V+v_0}{V+v_s} f_0$$

やりました。ついにドップラーの式を導出することだできましたね！

終わりに

今回はドップラー効果の式を2通りの方法で求めました。最初は仕組みを覚えるのに苦労すると思いますが、原理から覚えるとさらに問題に対する理解が深まるのでぜひ覚えるまで反復してみてください。また最初は好きなほうで覚えるのもよいですが、最終的には2通りどちらの方法でも導出できるようになることをお勧めします。

それではよい物理ライフを～