マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか？

数学を勉強していると、

$$(-2)\times(-3)=6$$

と習います。

でも、多くの人がここで一度つまずきます。

• プラスとマイナスでマイナスになるのは分かる
• マイナスとマイナスで、なぜ急にプラスになるのか分からない

という感覚です。

たしかに、

「そういうルールだから」と言われても、あまり納得できない

ところがあります。

この記事では、 マイナス×マイナスがプラスになるのは単なる暗記ではなく、 これまでの計算ルールを壊さないために必要な結果 だという流れで考えていきます。

1. なぜ不思議に感じるのか

たとえば正の数どうしの掛け算では、

$$3\times 2=6$$

です。

また、

$$(-3)\times 2=-6$$

や

$$3\times(-2)=-6$$

も、 そこまで変な感じはしません。

でも

$$(-3)\times(-2)$$

になると、 急に「なぜプラスになるの？」と思います。

ここで大事なのは、

負の数が出てきても、今までの計算ルールはそのまま守りたい

ということです。

たとえば

• 足し算のルール
• 引き算のルール
• 分配法則

が、負の数に入った瞬間に壊れてしまうと困ります。

だから数学では、

正の数で成り立っていたルールを、負の数までそのまま広げる

という考え方をします。

すると、 マイナス×マイナスの答えも自由には決められません。

2. カギになるのは分配法則

ここで使うのが 分配法則 です。

$$a(b+c)=ab+ac$$

というルールです。

これは小学校や中学校で出てくる、 とても基本的なルールです。

たとえば

$$3\times(4+1)=3\times 4+3\times 1$$

なので

$$3\times 5 = 12+3$$

となり、

たしかに両方とも $15$ になります。

このルールは、 負の数が出てきても同じように成り立ってほしいはずです。

3. まず負×正を決める

いきなり

$$(-2)\times(-3)$$

を見る前に、 まず

$$(-2)\times 3$$

を考えます。

ここで

$$2+(-2)=0$$

なので、

$$(2+(-2))\times 3 = 0\times 3 = 0$$

です。

これに分配法則を使うと、

$$(2+(-2))\times 3 = 2\times 3 + (-2)\times 3$$

だから

$$0=6+(-2)\times 3$$

です。

この式を満たすには、

$$(-2)\times 3=-6$$

でなければなりません。

つまり、

今までのルールを守るなら、マイナス×プラスはマイナスになる

と決まります。

4. 次に負×負を決める

次に本題の

$$(-2)\times(-3)$$

を考えます。

ここでも同じように

$$3+(-3)=0$$

を使います。

すると

$$(-2)\times(3+(-3)) = (-2)\times 0 = 0$$

です。

一方、分配法則を使うと

$$(-2)\times(3+(-3)) =(-2)\times 3 + (-2)\times(-3)$$

です。

さきほど

$$(-2)\times 3=-6$$

と分かっているので、

$$0=-6+(-2)\times(-3)$$

となります。

これを満たすには

$$(-2)\times(-3)=6$$

でなければなりません。

つまり、

分配法則を壊さないためには、マイナス×マイナスはプラスになるしかない

のです。

5. 負×負を負にするとどうなるか

では逆に、

$$(-2)\times(-3)=-6$$

だったとすると何が起きるでしょうか。

さきほどの分配法則の式

$$(-2)\times(3+(-3)) =(-2)\times 3 + (-2)\times(-3)$$

に代入すると、

$$0 = -6 + (-6)$$

となってしまいます。

つまり

$$0=-12$$

というおかしな式が出てきます。

これは明らかに矛盾です。

したがって、

負×負を負にすると、これまでの計算ルールが壊れてしまう

のです。

6. ただの暗記ルールなのか？

ここまで見ると、 「結局ルールを選んだだけでは？」と思うかもしれません。

ある意味では、 最初に負の数を導入した時点で ルールをどう広げるかを決めている、という面はあります。

ただし重要なのは、

何でも好きに決められるわけではない

ということです。

今まで使ってきた

• 分配法則
• 足し算と掛け算の関係
• 数の規則性

を保とうとすると、

$$(-a)\times(-b)=ab$$

とする以外に、ほとんど余地がありません。

つまり、

「勝手に決めた」というより、「自然にそう決まってしまう」

というほうが近いです。

まとめ

マイナス×マイナスがプラスになるのは、 ただの変な暗記ルールではありません。

ポイントをまとめると、

• 正の数で使っていた分配法則は、負の数でも守りたい
• そのルールを使うと、まずマイナス×プラスはマイナスと決まる
• さらに同じルールを使うと、マイナス×マイナスはプラスと決まる

という流れから、

$$(-a)\times(-b)=ab$$

が出てきます。

つまり、

マイナス×マイナスは、プラスになるようにしたというより、プラスでないと計算のルールがこわれる

のです。

こういう話を見ると、 数学のルールはバラバラに暗記するものではなく、 全体がきれいにつながるようにできているのだと分かります。