直感はアテにならない？勝率が2倍になる「モンティ・ホール問題」のからくり

僕、3つのドアからアタリの新車を当てるゲームをしていたんですけど、さっき不思議なことがあったんです。 僕がドアを1つ選んだ後、答えを知っている司会者の人が、僕が選ばなかったドアの中から「ここはハズレのヤギですよ」って1つ開けて見せてくれたんです。 「今なら選び直してもいいですよ」と言われたんですけど、残ったドアは2つだけですし、確率は50%ずつですよね？ だからそのままにしてみたんですけど、結局ハズレちゃいました……。 それは残念でしたね。実はその問題、数学の世界では「モンティ・ホール問題」と呼ばれているとても有名なパラドックスなんです。 実は高木さん、選び直したほうが当たる確率は2倍になっていたんですよ。

「残り2つなのだから、確率は1/2（50%）になるはず」 これは、かつて多くの数学者たちすらも戸惑わせた、人間の直感に潜む罠です。

今回は、この「モンティ・ホール問題」のからくりを、数式を使わずに誰にでもわかるように解き明かしていきます。

1. モンティ・ホール問題のルール

まずは状況を整理しましょう。

1. 3つのドア（A、B、C）があり、1つが「新車（アタリ）」、2つが「ヤギ（ハズレ）」です。
2. あなたはドアを1つ選びます（例：ドアA）。
3. 司会者（アタリの場所を知っている）は、残りのドアの中から必ず「ヤギ（ハズレ）」のドアを1つ開けます（例：ドアB）。
4. 司会者は「今なら、まだ閉まっているもう1つのドア（ドアC）に変更してもいいですよ」と提案してきます。

さて、あなたはドアを「変更する」べきでしょうか？ それとも「そのまま」にするべきでしょうか？

2. 実際にゲームをしてみよう

以下のゲームで実際にモンティホール問題を体験してみてください！ 複数回プレイすることで、理論が現実と一致することを実感できます。

3. なぜ直感は「50%」だと錯覚するのか

でも高橋さん、ハズレが1つ消えたのなら、僕のドアと残ったドア、どちらかがアタリなわけですから、やっぱり確率は半分（50%）に思えるのですが……。

そう思ってしまうのが普通ですよね。人間の脳は「選択肢が2つなら、確率は1/2だ」と自動的に判断してしまいがちです。

しかし、実際の確率は以下のようになります。

• ドアを変更しない場合の勝率：3分の1（約33.3%）
• ドアを変更した場合の勝率：3分の2（約66.7%）

なんと、ドアを変えるだけで勝率が2倍に跳ね上がるのです。

このような、直感に反する確率の不思議については、ガチャの確率を解説したこちらの記事でも触れています。

4. なぜドアを変えると勝率が「2倍」になるのか

理由はいたってシンプルです。「最初にハズレを選ぶ確率」に注目すると、謎が解けます。

あなたが最初に「ハズレ」を選んだ場合（確率: 3分の2）

あなたが最初にヤギ（ハズレ）を選んだとしましょう。 すると、残っている2つのドアは「もう1匹のヤギ」と「新車」です。

ルール上、司会者は必ず「ハズレのヤギ」のドアを開けなければなりません。 ということは、閉まったまま残っているもう1つのドアは、100%確実に「新車」ということになります。

つまり、最初にハズレを選んでいた場合、「ドアを変更する」という選択をすれば必ず新車が当たるのです。

あなたが最初に「アタリ」を選んだ場合（確率: 3分の1）

あなたが最初に新車（アタリ）を選んでいた場合のみ、ドアを変更するとハズレになってしまいます。

結論

• 最初に「ハズレ」を選べば、変更すると必ず当たります。
• 最初に「ハズレ」を選ぶ確率は、最初から最後まで 3分の2 です。

だから、「変更する」という作戦を取ったときの勝率は 3分の2（約66.7%）になるわけです。

単に2つのドアからランダムに選んでいるわけではないんです。司会者が「親切にハズレを1つ潰してくれた」おかげで、残ったドアにアタリが偏っている状態なんですよ。

5. 【極端な場合】ドアが100枚だったら？

理屈はわかったのですが、まだ少し不思議な感じがします……。本当に残ったドアの方が当たりやすいのでしょうか。

それなら、数を極端に増やして考えてみましょう。 「ドアが100枚ある」 と想像してみてください。

1. 100枚のドアがあり、アタリは1つだけです。あなたはドアを1枚選びました（当たる確率は 1/100 です）。
2. 司会者は、あなたが選ばなかった残り99枚のドアのうち、ハズレのドアを98枚すべてガバッと開けてしまいます。
3. 閉まっているのは、あなたが最初に選んだドアと、司会者が「あえて開けなかった」もう1枚のドアだけです。

さて、この状況ならドアを変更しますか？

それなら絶対に変更します！ 司会者の人がわざわざハズレを避けて残した1枚なら、そこにアタリがあるに決まっていますもんね。

その通りです。 あなたが最初に1/100の奇跡を引き当てていない限り、アタリは必ず「司会者が残した方のドア（確率 99/100）」にあります。

3枚のドアのときも、これと全く同じことが起きているのです。

まとめ

モンティ・ホール問題が教えてくれるのは、 「人間の直感は、論理や確率の前では簡単にエラーを起こす」 ということです。

• 選択肢が2つになったからといって、確率が50%ずつとは限りません。
• 「ハズレを1つ開ける」といった新しい情報が追加されると、確率は変動します。

勉強をするときも、仕事をするときも、人付き合いをするときも、この「直感」と「結果」のズレを理解しておくことは、間違いを見失わないようにする上で非常に役立ちます。

次に何かを選ぶとき、もし「ハズレ」を1つ教えてくれる人がいたら、勇気を出して選択を変えてみるのもいいかもしれませんね。 なるほど、数学を知っていると直感に惑わされずに済むんですね。僕ももっと勉強してみます！