sinx/x の極限

三角関数の微分では

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

という極限が様々なところで出てきます。

この記事では、

• なぜこの極限が特別なのか
• どうやって 1 をはさみうちで示すのか
• それが三角関数の微分とどうつながるのか

を順に見ていきます。

使うのは 単位円の図形 です。

極限そのものにまだ慣れていない場合は、先にこちらを読むと入りやすいです。

寄り道

また、sin や cos を単位円で見る話がまだ曖昧なら、こちらも先に見てください。

寄り道

1. グラフで見ると何が起きているか

まず

$$y=\frac{\sin x}{x}$$

のグラフを見てみます。

$x=0$ ではそのまま代入できませんが、 $x$ を 0 に近づけていくと、値は 1 に近づいていくように見えます。

つまりグラフとしては、

原点の真上に穴が空いているが、その穴の高さは 1 に見える

という形です。

ただし、グラフがそう見えるだけでは証明にはなりません。

なぜ本当に 1 に近づくと言えるのかを、 次で図形的に示します。

2. 証明

この証明では、

単位円の中で面積を比べて、$\dfrac{\sin x}{x}$ を 1 にはさみうちで示す

という流れを使います。

また、この議論は

角度をラジアンで表したとき

に成り立ちます。

単位円では、角度 $x$ はそのまま弧の長さにもなるので、 扇形の面積をそのまま $x$ で表せるからです。

2.1 3 つの図形の大小関係を見る

半径 1 の単位円を考えます。

そして

$$0<x<\frac{\pi}{2}$$

とします。

このとき、単位円の中には

• 三角形 $OAP$
• 扇形 $OAP$
• 三角形 $OAT$

という 3 つの図形ができます。

図形的には、

三角形 $OAP$ の面積 < 扇形 $OAP$ の面積 < 三角形 $OAT$ の面積

です。

この大小関係を式に直すのが出発点です。

2.2 3 つの図形の面積を書く

まず、三角形 $OAP$ を考えます。

単位円なので、円周上の点の座標は

$$(\cos x,\sin x)$$

です。

図のとおり、$OA=1$ で、$P$ の座標は

$$(\cos x,\sin x)$$

です。

したがって、底辺 $OH$ は $\cos x$、高さ $PH$ は $\sin x$ なので、三角形 $OAP$ の面積は

$$\frac{1}{2}\sin x\cos x$$

です。

次に、扇形 $OAP$ を考えると、その面積は

$$\frac{x}{2}$$

です。

ここで角度をラジアンで書いていることが効いています。 半径 1 なので、扇形の面積がそのまま $x/2$ になります。

最後に、接線上の点 $T$ を使った三角形 $OAT$ を考えると、その面積は

$$\frac{1}{2}\tan x$$

になります。

したがって、 面積の大小関係から

$$\frac{1}{2}\sin x\cos x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x$$

となります。

両辺を 2 倍すると

$$\sin x\cos x < x < \tan x$$

です。

ここまでは、単位円の図形から出てきた不等式です。

2.3 $\dfrac{\sin x}{x}$ をはさむ形に変える

今は

$$0<x<\frac{\pi}{2}$$

なので、$\sin x$ は正です。

そこで不等式

$$\sin x\cos x < x < \tan x$$

を $\sin x$ で割ると

$$\cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$

となります。

さらに逆数を取ると

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

が得られます。

2.4 はさみうちで右側極限を求める

ここで

$$x\to0^+$$

のとき、

$$\cos x \to 1$$

です。

しかも

$$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$

でした。

左も右も 1 に近づくので、 その間にはさまれている

$$\frac{\sin x}{x}$$

も 1 に近づきます。

したがって

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1$$

です。

ただ、これだけでは右から近づいた場合しか扱っていません。

2.5 左から近づく場合も確認する

では $x<0$ のときはどうなるでしょうか。

sin は奇関数なので

$$\sin(-x)=-\sin x$$

です。

したがって

$$\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$$

となり、

$$\frac{\sin x}{x}$$

は左右対称な形になります。

つまり、左から近づいても右から近づいても同じ値になり、

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

です。

3. なぜこの極限が重要なのか

ここまでで

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

が示せました。

この結果は、そのまま三角関数の微分に使われます。

例えば $\sin x$ の微分では、 加法定理を使うと

$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \sin x\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\frac{\sin h}{h}$$

となります。

ここで

$$\frac{\sin h}{h}\to1$$

が分かっていれば、 残るのは

$$\frac{\cos h-1}{h}\to0$$

だけです。

すると

$$(\sin x)'=\cos x$$

が導けます。

つまり、

$\dfrac{\sin x}{x}\to1$ は、三角関数の微分を支える中心の極限

だということです。

4. もう 1 つの極限

三角関数の微分では、もう 1 つ

$$\lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{x}=0$$

もよく使います。

これは

$$1-\cos x = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x} = \frac{1-\cos^2 x}{1+\cos x} = \frac{\sin^2 x}{1+\cos x}$$

より

$$\frac{1-\cos x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}$$

と書けます。

ここで

• $\dfrac{\sin x}{x}\to1$
• $\sin x\to0$
• $1+\cos x\to2$

なので

$$\frac{1-\cos x}{x}\to 0$$

です。

したがって

$$\frac{\cos x - 1}{x}\to 0$$

も分かります。

まとめ

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

が成り立つ理由は、

単位円の中で、三角形と扇形と接線側の三角形の面積を比べると、$\frac{\sin x}{x}$ が 1 にはさまれるから

です。

流れをまとめると、

• 単位円で $\sin x\cos x < x < \tan x$ を作る
• そこから $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1$ を得る
• $x\to0$ で $\cos x\to1$ を使って、はさみうちで 1 と分かる

という形です。

この極限は、ただの暗記事項ではありません。 単位円の図形から自然に出てきて、そのまま三角関数の微分の基礎になります。

三角関数の微分そのものを定義から追いたい場合は、こちらも続けて読むとつながります。

寄り道