sinx,cosxの微分はどのようになるのか

今回は

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$

がなぜ成り立つのかを、微分の定義から見ていきます。

三角関数の微分は公式として覚えることが多いですが、実はこれも極限から自然に現れます。

1. 微分の定義

まず、微分の定義を確認します。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

今回はこの定義に、三角関数をそのまま代入して考えます。

2. $\sin x$ の微分

$f(x)=\sin x$ とすると

$$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$

です。

ここで加法定理

$$\sin(x+h)=\sin x \cos h + \cos x \sin h$$

を使うと

$$\begin{aligned} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &= \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\[6pt] &= \frac{\sin x(\cos h - 1)}{h} + \frac{\cos x \sin h}{h} \end{aligned}$$

となります。

三角関数の加法定理についてはこちらをご覧ください。

寄り道

したがって

$$f'(x) = \lim_{h\to0} \left( \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} \right)$$

ここで重要なのは、次の2つの極限です。

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$$ $$\lim_{h\to0}\frac{\cos h - 1}{h}=0$$

これを使うと

$$f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

となります。

つまり

$$(\sin x)' = \cos x$$

です。

3. $\cos x$ の微分

同様に

$$f(x)=\cos x$$

とすると

$$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$$

です。

加法定理

$$\cos(x+h)=\cos x \cos h - \sin x \sin h$$

を使うと

$$\begin{aligned} \frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} &= \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} \\[6pt] &= \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \sin h}{h} \end{aligned}$$

したがって

$$f'(x) = \lim_{h\to0} \left( \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \frac{\sin h}{h} \right)$$

同じ極限を使うと

$$f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$$

となります。

つまり

$$(\cos x)' = -\sin x$$

です。

4. なぜこの形になるのか

ここまでの計算で、

• $\sin x$ → $\cos x$
• $\cos x$ → $-\sin x$

という関係が出てきました。

これは偶然ではなく、

三角関数が回転と対応している

ことと関係しています。

角度を少しずらすと、

• $\sin$ は $\cos$ の方向に変化し
• $\cos$ は $-\sin$ の方向に変化する

という構造になっています。

つまり微分とは

「どの方向に変化するか」を取り出している

とも考えることができます。

5. 重要な極限について

今回の計算では次の2つを使いました。

$$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$$ $$\lim_{h\to0}\frac{\cos h - 1}{h}=0$$

これらは三角関数の微分の土台になる非常に重要な結果です。

この極限の証明には、図形的な考察や極限の議論が必要になります。

（ここは一段階難しくなるため、今回は結果だけを使いました。）

この 2 つがなぜ成り立つのかを先に確認したい場合は、こちらを見てください。

寄り道

まとめ

三角関数の微分は

$$(\sin x)' = \cos x$$ $$(\cos x)' = -\sin x$$

となります。

これは

• 微分の定義
• 加法定理
• 基本的な極限

から導かれます。

三角関数の微分は丸暗記しがちですが、

極限から自然に現れる結果

であることが分かります。