【完全保存版】大学受験「漸化式」全15パターン解法辞典（応用・発展編）

高校数学の数列において、多くの受験生が苦手意識を持つ「漸化式」。 前回の「基礎編」では、全15パターンのうち「引き算」や「掛け算」を駆使して基本形に持ち込む7つの型を攻略しました。

引き算で邪魔な定数や $n$ の式を消す感覚は掴めました！でも、右辺が分数だったり、掛け算ばかりの式はどうすればいいですか……？ そこからが漸化式の本当の面白さです！引き算で太刀打ちできない相手には、「両辺を割る」「対数や逆数をとる」というさらに強力な武器を使って、私たちが知っている『基本形』へと強制的にすり替えていきます。

本記事では、難関大入試で頻出となる**【グループE・F・G】の残り8パターン**について、一切の行間を省略しない解説をお届けします。

まずは前回のおさらいも兼ねて、全15パターンの全体地図となる早見表から確認していきましょう。

漸化式 全15パターン早見表（★が本記事の解説範囲）

グループ	No.	パターン名	式の形	解法の最初の一手
A: 基本	1	等差型	$a_{n+1} = a_n + d$	公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$
	2	等比型	$a_{n+1} = r a_n$	公式 $a_n = a_1 r^{n-1}$
	3	階差型	$a_{n+1} = a_n + f(n)$	公式 $a_n = a_1 + \sum f(k)$
B: 階比	4	階比型	$a_{n+1} = f(n) a_n$	縦に並べて掛け合わせ、ナナメに約分
C: 特性	5	特性方程式型	$a_{n+1} = p a_n + q$	$\alpha = p\alpha + q$ を解いて引く
D: ズラす	6	多項式型(1次)	$a_{n+1} = p a_n + qn + r$	$n \to n+1$ にズラした式と引く
	7	和 $S_n$ 混在型	$S_n = p a_n + q$	$n \to n+1$ にズラした式と引く
E: 割る	★8	指数型	$a_{n+1} = p a_n + q^n$	両辺を $q^{n+1}$ で割る
	★9	分数係数型	$a_{n+1} = \frac{f(n+1)}{f(n)} a_n$	両辺を $f(n+1)$ で割る
	★10	クロス係数型	$f(n) a_{n+1} = f(n+1) a_n + q$	両辺を $f(n)f(n+1)$ で割る
F: 置換	★11	累乗・対数型	$a_{n+1} = p a_n^q$	両辺の $\log$ をとる
	★12	基本分数型	$a_{n+1} = \frac{r a_n}{p a_n + q}$	両辺の「逆数」をとる
	★13	1次分数型	$a_{n+1} = \frac{r a_n + s}{p a_n + q}$	特性方程式を解いてから逆数をとる
G: 連立	★14	隣接3項間型	$a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$	$x^2 + px + q = 0$ を解く
	★15	連立漸化式	$a_{n+1} = p a_n + q b_n$	足し引き or 代入して隣接3項間へ

【グループE】「両辺を割って塊を作る」3型

右辺に指数や掛け算の塊がある場合、そのまま引き算をしても消すことができません。このグループの鉄則は、両辺を特定の式で割り算し、同じ形をした「塊（かたまり）」を無理やり作り出すことです。

8. 指数型： $a_{n+1} = p a_n + q^n$

■ 見分け方のポイント

特性方程式型の末尾の定数だった部分が、$q^n$ のような指数の形になっているパターンです。 $a_{n+1} = 3 a_n \boldsymbol{+ 2^n}$ のように、おしりに $n$ 乗がくっついていたらこの型です。

■ 解法

邪魔な $q^n$ は、両辺を割り算することで処理します。

1. 両辺を $q^{n+1}$ で割る：邪魔な指数と同じ底を持つ $q^{n+1}$ で両辺を割ります。（$q^n$ で割る解法もありますが、$q^{n+1}$ の方がミスが減るため推奨です）
2. $\frac{a_n}{q^n}$ を塊と見る：約分をして形を整え、$b_n = \frac{a_n}{q^n}$ と置き換えます。
3. 特性方程式型として解く：置き換えた式は必ず特性方程式型（グループC）になるので、解いてから元の $a_n$ に戻します。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 3 a_n + 2^n$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：両辺を $2^{n+1}$ で割る 右辺の $2^n$ を処理するため、両辺を $2^{n+1}$ で割ります。

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{3 a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^n}{2^{n+1}}$$

STEP 2：形を整え、塊を置き換える 右辺の第1項の分母を $2 \times 2^n$ と分解し、第2項の分数を約分します。

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{a_n}{2^n} + \frac{1}{2}$$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ と置くと、式は次のように綺麗な特性方程式型に変わります。

$$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$$

STEP 3：特性方程式型として解く 特性方程式 $\alpha = \frac{3}{2} \alpha + \frac{1}{2}$ を解くと、$-\frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{2}$ より $\alpha = -1$ となります。これを引きます。

$$b_{n+1} - (-1) = \frac{3}{2} (b_n - (-1)) \implies b_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (b_n + 1)$$

数列 $\{b_n + 1\}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列です。 初項 $b_1$ は $b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{1}{2}$。よって等比数列の初項は $b_1 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ です。

$$b_n + 1 = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^n \implies b_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n - 1$$

最後に $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ だったので、両辺に $2^n$ を掛けて元に戻します。

$$\frac{a_n}{2^n} = \left(\frac{3}{2}\right)^n - 1 \implies a_n = 2^n \left\{ \left(\frac{3}{2}\right)^n - 1 \right\} = 2^n \cdot \frac{3^n}{2^n} - 2^n = 3^n - 2^n$$

💡 なぜこれで解けるのか $a_n$ と $2^n$ が混ざっていると計算できませんが、「両辺を割る」ことで $\frac{a_n}{2^n}$ という「変数だけの塊」と、「$\frac{3}{2}$」や「$\frac{1}{2}$」といった「ただの定数」に分離することができます。これが割り算の最大の魔法です。

⚠️ 注意ポイント 最後に $2^n$ を掛け直す際、分配法則を忘れて $a_n = 3^n - 1$ としてしまうミスが多発します。右辺全体に $2^n$ を掛けることを忘れないようにカッコをつけましょう。

【答え】 $a_n = 3^n - 2^n$

9. 分数係数型： $a_{n+1} = \frac{f(n+1)}{f(n)} a_n$

■ 見分け方のポイント

$a_n$ の前に、分母が $n$ の式、分子が $n+1$ の式 になっている分数が係数としてついている形です。

■ 解法

階比型（グループB）として縦に並べて掛けても解けますが、「割って塊を作る」視点を持つと一瞬で解けます。

1. 両辺を分子 $f(n+1)$ で割る：分子にある式で両辺を割ります。
2. 定数数列として解く：$\frac{a_n}{f(n)}$ という塊ができるので、それを解きます。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{n+2}{n+1} a_n$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：両辺を分子で割る 右辺の分子にある $n+2$ を消すため、両辺を $n+2$ で割ります。

$$\frac{a_{n+1}}{n+2} = \frac{a_n}{n+1}$$

STEP 2：定数数列として解く ここで $b_n = \frac{a_n}{n+1}$ と置くと、式は次のようになります。

$$b_{n+1} = b_n$$

「次の項になっても値が全く変わらない」という意味なので、この数列はすべての項が初項 $b_1$ と同じ値になる定数数列です。 初項 $b_1$ を求めます。

$$b_1 = \frac{a_1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

すべての $n$ において $b_n = \frac{1}{2}$ なので、元に戻します。

$$\frac{a_n}{n+1} = \frac{1}{2} \implies a_n = \frac{n+1}{2}$$

【答え】 $a_n = \frac{n+1}{2}$

10. クロス係数型： $f(n) a_{n+1} = f(n+1) a_n + q$

■ 見分け方のポイント

左辺の $a_{n+1}$ には $n$ の式が、右辺の $a_n$ には $n+1$ の式がクロスして掛け算されている形です。

■ 解法

これも「割り算」で美しい塊を作ります。

1. 両辺を $f(n)f(n+1)$ で割る：両辺の係数の積で一気に割ります。
2. 階差型として解く：$\frac{a_n}{f(n)}$ の塊ができ、基本の階差型（グループA-3）に帰着します。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad n a_{n+1} = (n+1) a_n + 1$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：両辺を割る 左辺の $n$ と右辺の $n+1$ を整理するため、両辺を $n(n+1)$ で一気に割り算します。

$$\frac{n a_{n+1}}{n(n+1)} = \frac{(n+1) a_n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}$$

それぞれの分数を約分します。

$$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{1}{n(n+1)}$$

STEP 2：階差型として解く $b_n = \frac{a_n}{n}$ と置くと、式は次のように階差型になります。

$$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n(n+1)}$$

階差数列の公式を使います。初項 $b_1 = \frac{a_1}{1} = 1$。 $n \ge 2$ のとき、部分分数分解を利用します。

$$\begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= 1 + \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \right\} \\ &= 1 + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \\ &= 2 - \frac{1}{n} = \frac{2n - 1}{n} \end{aligned}$$

$n=1$ を代入すると $\frac{2-1}{1} = 1$ で一致。 $b_n = \frac{a_n}{n}$ なので、両辺に $n$ を掛けます。

$$\frac{a_n}{n} = \frac{2n - 1}{n} \implies a_n = 2n - 1$$

【答え】 $a_n = 2n - 1$

【グループF】対数や逆数をとる「置き換え」3型

そのままではどう足掻いても計算が進まないため、「対数（$\log$）」や「逆数」というフィルターを通して、全く別の見慣れた数列にすり替える応用パターンです。

11. 累乗・対数（積）型： $a_{n+1} = p a_n^q$

■ 見分け方のポイント

右辺が累乗になっている、あるいは掛け算だけで構成されている形です。 $a_{n+1} = \boldsymbol{2 a_n^3}$ のように、足し算や引き算が一切存在しないのが特徴です。

■ 解法

対数（$\log$）の性質「掛け算は足し算に」「累乗は前に出せる」を利用します。

1. 両辺の対数をとる：底は問題の係数や初項に合わせて適切に選びます。
2. 特性方程式型として解く：$\log a_n$ を塊と見ると、お馴染みの特性方程式型（グループC）になるので解き切ります。

■ 【例題】

$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2 a_n^3 \quad (a_n > 0)$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：両辺の対数をとる 初項も係数も $2$ なので、底が $2$ の対数を両辺にとります。

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 (2 a_n^3)$$

右辺を対数の性質で分解します。

$$\log_2 a_{n+1} = \log_2 2 + \log_2 a_n^3$$ $$\log_2 a_{n+1} = 1 + 3 \log_2 a_n$$

STEP 2：特性方程式型として解く 順番を入れ替え、$b_n = \log_2 a_n$ と置くと、

$$b_{n+1} = 3 b_n + 1$$

特性方程式 $\alpha = 3\alpha + 1 \implies \alpha = -\frac{1}{2}$ を解いて変形します。

$$b_{n+1} + \frac{1}{2} = 3 \left( b_n + \frac{1}{2} \right)$$

初項 $b_1 = \log_2 a_1 = \log_2 2 = 1$。よって数列 $\{b_n + \frac{1}{2}\}$ の初項は $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

$$b_n + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n}{2}$$ $$b_n = \frac{3^n - 1}{2}$$

最後に $b_n = \log_2 a_n$ なので、対数の定義（$\log_p M = k \iff M = p^k$）から戻します。

$$\log_2 a_n = \frac{3^n - 1}{2} \implies a_n = 2^{\frac{3^n - 1}{2}}$$

【答え】 $a_n = 2^{\frac{3^n - 1}{2}}$

12. 基本分数型： $a_{n+1} = \frac{r a_n}{p a_n + q}$

■ 見分け方のポイント

右辺が分数になっており、 分子が $a_n$ の単項式（定数が足されていない） になっている形です。

■ 解法

分数は、分母に足し算があると分割できませんが、分子に足し算があれば分割できます。そこで「逆数」をとります。

1. 両辺の逆数をとる：分母と分子をひっくり返します。
2. 分数を分割する：右辺の分数をハート型に割り算して分割します。
3. 特性方程式型として解く：$\frac{1}{a_n}$ を塊として解きます。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{2 a_n + 3}$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：両辺の逆数をとる

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2 a_n + 3}{a_n}$$

STEP 2：分数を分割する 右辺をバラバラに分解します。

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2 a_n}{a_n} + \frac{3}{a_n} \implies \frac{1}{a_{n+1}} = 2 + 3 \cdot \frac{1}{a_n}$$

STEP 3：特性方程式型として解く $b_n = \frac{1}{a_n}$ と置くと、

$$b_{n+1} = 3 b_n + 2$$

特性方程式 $\alpha = 3\alpha + 2 \implies \alpha = -1$。

$$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$$

初項 $b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$ なので、$b_1 + 1 = 2$。

$$b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1} \implies b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$$

最後に逆数をとって $a_n$ に戻します。

$$\frac{1}{a_n} = 2 \cdot 3^{n-1} - 1 \implies a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$$

【答え】 $a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$

13. 1次分数型（最難関）： $a_{n+1} = \frac{r a_n + s}{p a_n + q}$

■ 見分け方のポイント

分数型ですが、分子にも定数項 $s$ が足されている形です。そのまま逆数をとっても分母に足し算が残って詰む、最難関パターンです。

■ 解法

分子の定数を消して、基本分数型（パターン12）に帰着させるという2段階の置き換えを行います。

1. 特性方程式を解く：$\alpha = \frac{r \alpha + s}{p \alpha + q}$ を解き、$\alpha$ を求めます。
2. 両辺から $\alpha$ を引く：$a_{n+1} - \alpha$ を計算し、分子の定数を消滅させます。
3. 逆数をとる：基本分数型になったので、逆数をとって解きます。

■ 【例題】

$$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = \frac{4 a_n - 2}{a_n + 1}$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：特性方程式を解く

$$\alpha = \frac{4\alpha - 2}{\alpha + 1} \implies \alpha(\alpha + 1) = 4\alpha - 2 \implies \alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0$$

$(\alpha - 1)(\alpha - 2) = 0$ より、$\alpha = 1, 2$。今回は $\alpha = 1$ を使います。

STEP 2：両辺から $\alpha$ を引く 元の漸化式の両辺から $1$ を引き算します。

$$\begin{aligned} a_{n+1} - 1 &= \frac{4 a_n - 2}{a_n + 1} - 1 \\ &= \frac{4 a_n - 2 - (a_n + 1)}{a_n + 1} \\ &= \frac{3 a_n - 3}{a_n + 1} \\ &= \frac{3(a_n - 1)}{a_n + 1} \end{aligned}$$

これで分子の定数が消え、$(a_n - 1)$ という塊ができました。

STEP 3：逆数をとる 両辺の逆数をとります。

$$\frac{1}{a_{n+1} - 1} = \frac{a_n + 1}{3(a_n - 1)}$$

右辺の分子を、分母の $(a_n - 1)$ に無理やり合わせます。

$$\frac{1}{a_{n+1} - 1} = \frac{(a_n - 1) + 2}{3(a_n - 1)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a_n - 1}$$

$b_n = \frac{1}{a_n - 1}$ と置くと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$。 特性方程式 $\beta = \frac{2}{3}\beta + \frac{1}{3} \implies \beta = 1$。

$$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1)$$

初項 $b_1 = \frac{1}{a_1 - 1} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$。よって $b_1 - 1 = -\frac{1}{2}$。

$$b_n - 1 = -\frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \implies b_n = 1 - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$$

元に戻します。

$$\frac{1}{a_n - 1} = 1 - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \implies a_n - 1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}$$

最後に $1$ を右辺に移行して終了です。

【答え】 $a_n = 1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}$

【グループG】複数の数列が絡む「連立・3項間」2型

いよいよ最後のグループです。$a_n$ だけでなく $a_{n+2}$ や $b_n$ など複数の項が入り乱れるパターンです。

14. 隣接3項間型： $a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$

■ 見分け方のポイント

$a_n$、$a_{n+1}$、$a_{n+2}$ の3つの項が1つの式に混在している形です。

■ 解法

2次方程式の解を利用して、2種類の「等比数列」を作り出します。

1. 特性方程式を解く：$a_{n+2} \to x^2$、$a_{n+1} \to x$、$a_n \to 1$ と置いた2次方程式を解き、2つの解 $\alpha, \beta$ を求めます。
2. 2つの式を作る：解を使って、$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ とその逆の式の2本を立て、それぞれ等比数列として解きます。
3. 辺々を引き算する：求めた2つの式を縦に引き算し、$a_{n+1}$ を消去します。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 4, \quad a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：特性方程式を解く

$$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, 3$$

解は $\alpha = 2, \beta = 3$ です。

STEP 2：2つの式を作り、解く 【式1】 $\alpha=2$ を左側に使う

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} - 2a_n)$$

数列 $\{a_{n+1} - 2a_n\}$ は公比 $3$ の等比数列。 初項は $a_2 - 2a_1 = 4 - 2 = 2$。

$$a_{n+1} - 2a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad \cdots ①$$

【式2】 $\beta=3$ を左側に使う

$$a_{n+2} - 3a_{n+1} = 2(a_{n+1} - 3a_n)$$

数列 $\{a_{n+1} - 3a_n\}$ は公比 $2$ の等比数列。 初項は $a_2 - 3a_1 = 4 - 3 = 1$。

$$a_{n+1} - 3a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} \quad \cdots ②$$

STEP 3：辺々を引き算する ①から②を縦に引き算します。

$$\begin{aligned} a_{n+1} - 2a_n &= 2 \cdot 3^{n-1} \\ -) \quad a_{n+1} - 3a_n &= 2^{n-1} \\ \hline a_n &= 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1} \end{aligned}$$

【答え】 $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$

15. 連立漸化式： $a_{n+1} = p a_n + q b_n$

■ 見分け方のポイント

$a_n$ と $b_n$ の2つの数列が、2つの式で互いに絡み合っている形です。

■ 解法

片方の文字を消去し、1つの数列についての「隣接3項間型（パターン14）」に持ち込んで倒します。

1. $b_n =$ の形にする：第1式を変形して、$b_n$ を $a_n$ の式で表します。
2. 番号をズラす：1で作った式の $n$ を $n+1$ にズラして $b_{n+1} =$ の形を作ります。
3. 第2式に代入する：これらを第2式にすべて代入すると、$b_n$ が完全に消え、$a_n$ の隣接3項間型になります。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad b_1 = 1 \\ \begin{cases} a_{n+1} = 2 a_n + b_n & \cdots ① \\ b_{n+1} = a_n + 2 b_n & \cdots ② \end{cases}$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：$b_n =$ の形にする ①を変形して $b_n$ について解きます。

$$b_n = a_{n+1} - 2a_n \quad \cdots ③$$

STEP 2：番号をズラす ③の $n$ を $n+1$ に置き換えます。

$$b_{n+1} = a_{n+2} - 2a_{n+1} \quad \cdots ④$$

STEP 3：第2式に代入する ③と④を、元の②の式に代入します。

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_n + 2(a_{n+1} - 2a_n)$$

展開して整理します。

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_n + 2a_{n+1} - 4a_n$$ $$a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 0$$

これで隣接3項間型（パターン14）になりました。特性方程式 $x^2 - 4x + 3 = 0$ を解くと $x = 1, 3$。

【式1】 $a_{n+2} - a_{n+1} = 3(a_{n+1} - a_n)$ $a_2 = 2(1)+1 = 3$ より、初項は $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$。

$$a_{n+1} - a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad \cdots ⑤$$

【式2】 $a_{n+2} - 3a_{n+1} = 1(a_{n+1} - 3a_n)$ 初項は $a_2 - 3a_1 = 3 - 3 = 0$。

$$a_{n+1} - 3a_n = 0 \quad \cdots ⑥$$

⑤から⑥を引くと、

$$2a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1}$$

最後に③に代入して $b_n$ を求めます。

$$b_n = 3^n - 2 \cdot 3^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} - 2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$$

【答え】 $a_n = 3^{n-1}, \quad b_n = 3^{n-1}$

【番外編】隣接3項間漸化式のイレギュラー攻略

14-A. 隣接3項間（重解パターン）： $a_{n+2} - 2p a_{n+1} + p^2 a_n = 0$

■ 見分け方のポイント

特性方程式 $x^2 + px + q = 0$ を解いたとき、解が1つ（重解）になってしまうパターンです。

■ 解法

解が1つしかないため、$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ の式が1本しか作れず、辺々を引き算して $a_{n+1}$ を消去する技が使えません。しかし、実はこれ、**「指数型（グループE-8）」**に変化するボーナス問題です。

1. 1本だけ式を作る：重解 $\alpha$ を使って、作れる1本だけの等比数列の式を作ります。
2. 階差数列を求める：その式を解くと、$a_{n+1} - \alpha a_n = \text{（指数の式）}$ になります。
3. 指数型として割る：できた式は完全に「指数型（パターン8）」なので、両辺を $\alpha^{n+1}$ で割って解き切ります。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 4, \quad a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = 0$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：特性方程式を解き、式を1本立てる

$$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 \text{ （重解）}$$

この重解を使って式を変形します。

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = 2(a_{n+1} - 2a_n)$$

STEP 2：等比数列として1回解く 数列 $\{a_{n+1} - 2a_n\}$ は公比 $2$ の等比数列です。 初項は $a_2 - 2a_1 = 4 - 2 = 2$。

$$a_{n+1} - 2a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$$ $$a_{n+1} = 2a_n + 2^n$$

ここで引き算する相手がいなくなりますが、よく見てください。この式は**指数型（パターン8）**そのものです！

STEP 3：両辺を $2^{n+1}$ で割る 両辺を $2^{n+1}$ で割って塊を作ります。

$$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^n}{2^{n+1}} \implies \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{1}{2}$$

$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ と置くと、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$。 これは公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列です。初項 $b_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2}$。

$$b_n = \frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{1}{2}n = \frac{n}{2}$$

元に戻します。

$$\frac{a_n}{2^n} = \frac{n}{2} \implies a_n = 2^n \cdot \frac{n}{2} = n \cdot 2^{n-1}$$

【答え】 $a_n = n \cdot 2^{n-1}$

14-B. 隣接3項間（定数項ありパターン）： $a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = r$

■ 見分け方のポイント

右辺が $0$ ではなく、定数 $r$ が存在している形です。

■ 解法

定数が邪魔で等比数列を作れないため、まずは**「定数消去（グループC）」**のアプローチをとります。

1. 全体の特性方程式を解く：$a_{n+2}, a_{n+1}, a_n$ をすべて同じ文字（$\alpha$）に置き換えて定数を求める方程式を解きます。
2. 全体をズラす：求めた $\alpha$ を使って $b_n = a_n - \alpha$ と置き換えると、見事に右辺が $0$ の普通の隣接3項間に生まれ変わります。
3. 通常の3項間として解く：あとはパターン14の手順で解くだけです。

■ 【例題】

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 4$$

■ 【解法ステップ】

STEP 1：全体の特性方程式を解く 邪魔な右辺の $4$ を消すため、すべてを $\alpha$ にしたダミーの方程式を解きます。

$$\alpha - 5\alpha + 6\alpha = 4 \implies 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2$$

STEP 2：全体から $\alpha$ を引いて置き換える 元の漸化式を次のように強引に変形します（展開すると元に戻ることが確認できます）。

$$(a_{n+2} - 2) - 5(a_{n+1} - 2) + 6(a_n - 2) = 0$$

ここで $b_n = a_n - 2$ という新しい数列を作ると、

$$b_{n+2} - 5b_{n+1} + 6b_n = 0$$

これで右辺が $0$ の普通の隣接3項間（パターン14）になりました！ ただし、初項もズレることに注意してください。 $b_1 = a_1 - 2 = -1, \quad b_2 = a_2 - 2 = 0$

STEP 3：通常の3項間として解く 特性方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x = 2, 3$。

【式1】 $b_{n+2} - 2b_{n+1} = 3(b_{n+1} - 2b_n)$ 初項は $b_2 - 2b_1 = 0 - 2(-1) = 2$。

$$b_{n+1} - 2b_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad \cdots ①$$

【式2】 $b_{n+2} - 3b_{n+1} = 2(b_{n+1} - 3b_n)$ 初項は $b_2 - 3b_1 = 0 - 3(-1) = 3$。

$$b_{n+1} - 3b_n = 3 \cdot 2^{n-1} \quad \cdots ②$$

①から②を引きます。

$$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1}$$

最後に $b_n = a_n - 2$ だったので、$+2$ を右辺に戻して終了です。

【答え】 $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 3 \cdot 2^{n-1} + 2$

完結！全15パターン制覇の道

お疲れ様でした！基礎固め編から始まり、これにて大学受験に出題される「漸化式の全15パターン」の攻略が完了しました。

どんなに複雑な漸化式でも、結局私たちがやっていることは**「知っている基本形にどうやって変換するか」**というパズルに過ぎません。

• 邪魔な定数がある $\to$ 特性方程式で引く
• $n$ の式がある $\to$ ズラして引く
• 余計な係数がある $\to$ 両辺を割る
• 形が複雑 $\to$ 対数や逆数をとって置き換える

この「式変形の目的」を理解しておけば、初見の問題でも計算の糸口が必ず見つかるはずです。公式をただ暗記するのではなく、手を動かしてこの流れを体に染み込ませてくださいね！