相関係数とは？意味・求め方・見方をわかりやすく解説

データが2つあるとき、

• 片方が増えると、もう片方も増えるのか
• 片方が増えると、もう片方は減るのか
• そもそも関係があるのか

を知りたくなることがあります。

例えば

• 勉強時間とテストの点数
• 気温とアイスの売上
• 広告費とアクセス数

のような組み合わせです。

このような 「2つのデータの関係の強さ」 を表す代表的な指標が 相関係数 です。

この記事では、相関係数が何を表しているのか、なぜあの式になるのか、 そして実際にどう使えばよいのかを順に見ていきます。

1. 相関係数とは何か

相関係数は、一言でいうと

2つのデータがどれくらい同じ向きに動くかを表す数

です。

通常、相関係数は $r$ で表し、値は

$$-1 \le r \le 1$$

の範囲に入ります。

意味は次のように読むのが基本です。

• $r$ が $1$ に近い: 強い正の相関
• $r$ が $-1$ に近い: 強い負の相関
• $r$ が $0$ に近い: 線形な関係が弱い

例えば、

• 勉強時間が長いほど点数も高い
• 身長が高いほど体重も大きい

のような関係なら、正の相関 がありそうです。

逆に、

• 価格が上がるほど売上個数が減る

のような関係なら、負の相関 がありそうです。

2. 散布図で考える

相関係数を考える前に、2つのデータを平面上に打ってみるとイメージしやすくなります。

例えば横軸を小テストの点数、縦軸を期末テストの点数にすると、 各人のデータは1つの点として表せます。

点が右上がりに並ぶなら、

小テストの点数が高いほど、期末テストの点数も高くなりやすい

と考えられます。

逆に右下がりに並ぶなら、

片方が増えるほど、もう片方が下がりやすい

ということです。

相関係数は、この散布図の「右上がり具合」「右下がり具合」を 数値にしたものだと思うと分かりやすいです。

下の図は、小テストの点数と期末テストの点数の散布図です。 点がだいたい右上がりに並んでいるので、正の相関がありそうだと読み取れます。

3. 式を見てみる

高校や大学初級でよく使う相関係数は、次の式で定義されます。

$$r= \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}}$$

ここで

• $x_i, y_i$ は各データ
• $\bar{x}, \bar{y}$ はそれぞれの平均

です。

式だけ見ると少し複雑に見えますが、 中身は次の2段階に分けると理解しやすくなります。

1. まず「同じ向きに動いているか」を調べる
2. そのあと、データの大きさの影響を取り除く

この2つを順に見ていきます。

4. なぜ $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ を見るのか

平均からどれだけずれているかを

$$x_i-\bar{x}, \quad y_i-\bar{y}$$

と書きます。

これは 偏差 と呼ばれます。

この偏差どうしを掛け合わせた

$$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

を見ると、2つのデータが同じ向きに動いているかが分かります。

1. 両方とも平均より大きいとき

例えば、

• $x_i-\bar{x} > 0$
• $y_i-\bar{y} > 0$

なら、掛け算の結果は正です。

つまり

両方とも平均より上にある

ので、同じ向きに動いています。

2. 両方とも平均より小さいとき

今度は

• $x_i-\bar{x} < 0$
• $y_i-\bar{y} < 0$

です。

このときも掛け算の結果は正になります。

これも

両方とも平均より下にある

ので、やはり同じ向きです。

3. 片方だけ平均より大きいとき

例えば

• $x_i-\bar{x} > 0$
• $y_i-\bar{y} < 0$

なら、掛け算の結果は負になります。

これは、片方が上に行くともう片方が下に行く関係です。

つまり

逆向きに動いている

ことを意味します。

したがって

$$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

を見れば、

• 正に大きい: 同じ向きに動きやすい
• 負に大きい: 逆向きに動きやすい

ということが分かります。

これは 共分散 の元になっている考え方です。

5. なぜそのままではだめなのか

ここで1つ問題があります。

例えば

• 勉強時間を「時間」で測る
• それを「分」で測る

とすると、数の大きさが一気に変わります。

でも、データどうしの関係そのものは変わっていないはずです。

ところが

$$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

だけを見ると、単位やスケールの影響を強く受けてしまいます。

そこで、各データのばらつきの大きさで割って、 単位に依存しない形 に直します。

そのときに使う考え方が標準偏差です。

6. 標準偏差で割る理由

標準偏差は、データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表す量です。

$$\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2},\quad \sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}$$

は、厳密には標準偏差そのものではありませんが、 それぞれ $x$ と $y$ の標準偏差に比例する量になっています。

相関係数では分子と分母で同じ種類の定数倍が打ち消し合うので、 この形で書いても本質は変わりません。

したがって

$$\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}}$$

とすることで、

「同じ向きに動く強さ」を、データのスケールに依らず比較できる形にしている

わけです。

この標準化のおかげで、相関係数は常に

$$-1 \le r \le 1$$

の範囲に収まります。

7. 実際に計算してみる

では、次のデータで相関係数を計算してみます。

人	$x$: 小テスト（点）	$y$: 期末テスト（点）
A	40	42
B	50	56
C	60	51
D	70	67
E	80	64

まず平均を求めます。

$$\bar{x}=\frac{40+50+60+70+80}{5}=60$$ $$\bar{y}=\frac{42+56+51+67+64}{5}=56$$

次に偏差を並べます。

人	$x_i-\bar{x}$	$y_i-\bar{y}$	積
A	$-20$	$-14$	$280$
B	$-10$	$0$	$0$
C	$0$	$-5$	$0$
D	$10$	$11$	$110$
E	$20$	$8$	$160$

したがって

$$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=550$$

です。

次に2乗和を計算します。

$$\sum (x_i-\bar{x})^2 =(-20)^2+(-10)^2+0^2+10^2+20^2 =1000$$ $$\sum (y_i-\bar{y})^2 =(-14)^2+0^2+(-5)^2+11^2+8^2 =406$$

よって

$$r=\frac{550}{\sqrt{1000}\sqrt{406}} \approx 0.86$$

となります。

これは

はっきりした正の相関がある

と読めます。

つまり、この例では小テストの点数が高い人ほど、期末テストの点数も高い傾向があるわけです。

8. 相関係数の見方

相関係数の値は、一般に次のように読むことが多いです。

• $1$ に近い: 非常に強い正の相関
• $0.7$ 前後: 比較的強い正の相関
• $0.3$ 前後: 弱い相関
• $0$ 付近: 線形な関係はあまり見えない
• $-1$ に近い: 非常に強い負の相関

ただし、これは絶対的な基準ではありません。

分野によっては

• $0.4$ でも十分意味がある
• $0.8$ でもまだ慎重に見る

ということもあります。

大事なのは、数字だけを機械的に読むのではなく、 元のデータや文脈も一緒に見ることです。

9. 相関係数を使うときの注意点

相関係数は便利ですが、誤解しやすい点もあります。

1. 相関がある = 因果関係がある、ではない

例えば、アイスの売上と麦茶の売上に相関があったとしても、 「アイスが売れるから麦茶が売れる」とは限りません。

実際には、

気温が高い

という別の要因が、両方に影響しているかもしれません。

相関係数が教えてくれるのは、

一緒に動く傾向がある

ということまでです。

2. 外れ値に影響されやすい

ほとんどのデータがきれいに並んでいても、 1つだけ極端な値が入ると相関係数はかなり変わります。

そのため、数値だけでなく散布図も一緒に確認するのが基本です。

3. 線形な関係しか見えにくい

相関係数は、基本的に

一直線に近い関係

をどれくらい持っているかを見る指標です。

例えば、きれいな曲線の関係があっても、 相関係数が小さくなることがあります。

10. どんな場面で使うのか

相関係数は、次のような場面でよく使われます。

• 小テストと期末テストの点数の関係を見る
• 広告費と売上の関係を見る
• 身長と体重の関係を見る
• 気温と商品の売上の関係を見る

まず相関係数で全体の傾向をざっくり確認し、 必要なら散布図や回帰分析に進む、という流れはよくあります。

特に

• データを見始めた最初の段階
• 2つの変数の関係を素早く確認したい段階

では、とても使いやすい指標です。

まとめ

相関係数は、

2つのデータがどれくらい同じ向きに動くかを表す数

でした。

ポイントをまとめると、

• 偏差の積で「同じ向きか逆向きか」を見る
• 標準偏差で割ってスケールの影響を消す
• 値は $-1$ から $1$ の間に入る
• $1$ に近いほど強い正の相関、$-1$ に近いほど強い負の相関
• ただし、因果関係までは示さない

という流れです。

相関係数は式だけ暗記すると分かりにくいですが、 「偏差の積を見る」「ばらつきで割って標準化する」と考えると、 かなり自然な式に見えてきます。

統計ひろばで相関係数をすぐ試す

ここまで読んで相関係数の意味がつかめたら、 次は実際のデータで試してみるのがおすすめです。

手計算で仕組みを理解することは大事ですが、 データ数が少し増えるだけでも計算はすぐに面倒になります。

統計ひろば では、2列のデータを入力するだけで

• 相関係数
• 決定係数
• 共分散
• 平均
• 標準偏差

をまとめて確認できます。

散布図もその場で表示できるので、 数値だけでなくデータの並び方も一緒に見たいときに便利です。

手元にデータがなくても、「サンプルを入れる」を押せばすぐに挙動を試せます。 まずはサンプルで相関係数と散布図の見え方を確認してから、自分のデータに置き換える使い方もできます。

相関係数を手で計算してみると、式の意味がよく見えてきます。 そのうえで実際のデータを素早く処理したいときは、ツールも活用してみてください。