三角関数の加法定理とは何か

今回は三角関数の 加法定理 について見ていきます。

$$\sin(x+y),\quad \cos(x+y)$$

のように、角度を足したときにどうなるかを表す公式です。

加法定理は公式として覚えることが多いですが、実は 回転 から自然に導くことができます。

1. 加法定理とは

加法定理は次の公式です。

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$ $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$

一見すると少し複雑ですが、意味ははっきりしています。

角度を足した結果を、もとの角度の情報だけで表している

という公式です。

では、なぜこうなるのでしょうか。

2. 三角関数を座標として見る

単位円を考えると、角度 $x$ に対応する点は

$$(\cos x,\sin x)$$

で表されます。

つまり三角関数は

角度に対応する点の座標

として理解できます。

したがって、角度 $x+y$ に対応する点は

$$(\cos(x+y),\sin(x+y))$$

です。

加法定理を示したいということは、
この点の座標を $\cos x,\sin x,\cos y,\sin y$ で表したい ということです。

ここでつまずいた人はこの記事を読んでみてください。

寄り道

3. 角度を足すとは回転すること

角度 $x+y$ は、

• まず角度 $x$ の方向を向き
• そこからさらに角度 $y$ だけ回転する

と考えることができます。

つまり、角度 $x$ の点

$$(\cos x,\sin x)$$

を、さらに角度 $y$ だけ回転させれば

$$(\cos(x+y),\sin(x+y))$$

になるはずです。

したがって問題は、

点 $(\cos x,\sin x)$ を角度 $y$ だけ回転すると、座標がどうなるか

を求めることになります。

4. 回転したときの座標を作る

ここが一番大事なところです。

点 $(\cos x,\sin x)$ を、角度 $y$ だけ回転させたときの座標を求めます。

そのために、「回転後の座標軸」を考えます。

もともとの座標では

• 横方向：$(1,0)$
• 縦方向：$(0,1)$

でした。

これを角度 $y$ だけ回転すると、

• 新しい横方向は $(\cos y,\sin y)$
• 新しい縦方向は $(-\sin y,\cos y)$

になります。

つまり、回転後の座標では

横に1進む = $(\cos y,\sin y)$ に進む
縦に1進む = $(-\sin y,\cos y)$ に進む

ということです。

もともとの点 $(\cos x,\sin x)$ は、

• 横に $\cos x$
• 縦に $\sin x$

だけ進んだ点でした。

したがって、これを回転後の座標軸で表すと

$$\cos x(\cos y,\sin y) + \sin x(-\sin y,\cos y)$$

となります。

これを計算すると

$$(\cos x\cos y-\sin x\sin y,\ \cos x\sin y+\sin x\cos y)$$

となります。

5. 加法定理が出てくる

一方で、この点は「角度 $x+y$ の点」でもあるので、

$$(\cos(x+y),\sin(x+y))$$

とも書けます。

したがって、座標を比べると

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$ $$\sin(x+y)=\cos x\sin y+\sin x\cos y$$

となります。

順番を入れ替えて書けば、

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$ $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$

です。

これが加法定理です。

6. 差の公式

加法定理が分かれば、差の公式もすぐに出ます。

$y$ を $-y$ に置き換えると、

$$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$ $$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$

となります。

ここで

$$\cos(-y)=\cos y,\qquad \sin(-y)=-\sin y$$

を使っています。

まとめ

加法定理

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$ $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$

は、単なる暗記公式ではありません。

その本質は

角度を足すことは、点を回転させること

にあります。

そして回転後の座標をきちんと作ることで、加法定理は自然に現れます。