高校物理の公式は暗記不要！微積分で導く等加速度運動とエネルギー保存則

高校物理の序盤、力学において一つの壁になりがちな等加速度運動において成り立つ位置と速度の公式。あれ、結構覚えるのが面倒ですよね。

中には「暗記が大変だから」という理由で、物理に対して苦手意識を持っている人もいるかもしれません。そんな人にはぜひ、公式を導出の流れで理解してみることをお勧めします。

意外とそっちの方が、丸暗記するよりすんなりと頭に入るかもしれませんよ。

基本の確認

いきなり導出に入る前に、物理における「微分・積分」の役割を軽く見てみましょう。

まず微分・積分そのものについて。本記事の主役ではないのでざっくりとした説明に留めますが、微分は「微小な変化量（傾き）」、積分は「積み重なった面積」として考えることができます。また、積分は微分の逆演算であることも頭に入れておいてください。 　次に、この考え方を力学に当てはめてみます。図のように、初速 $v_0$、初期位置 $x_0$ で、平面上を等加速度運動する球を考えてください。右向きを正とし、ある時刻 $t$ での位置を $x$、速度を $v$、加速度を $a$ と置きます。

　位置 $x$ を時間 $t$ で微分するとどうなるでしょうか。微分は「瞬間の変化量」を表すので、位置の変化、つまり速度 $v$ になります。同様に、速度 $v$ を時間微分すれば、速度の変化である加速度 $a$ となります。

　逆に、積分は逆演算ですから、加速度を積分すれば速度に、速度を積分すれば位置になります。ただし、積分するときは「積分定数」の存在、つまり初期条件（$t=0$ での位置や速度）に注意してくださいね。

等加速度運動における速度と変位を求める公式の導出

それでは、実際に公式を導いてみましょう。加速度 $a$ が定数である「等加速度運動」を考えます。

1.速度の公式

加速度 $a$ を時刻 $t$ で積分してみます。

$$\int \; a \;dt =\;at \;+ \;C$$

加速度を積分したものは速度 $v$ でしたね。ここで、初期条件（$t=0$ のとき $v=v_0$）を代入して積分定数 $C$ を求めると、お馴染みのあの式が出てきます。

$$\int a \; dt= v$$

ですから、以上からまとめると

$$v \; = \; at \; + \; v_0$$

2.位置の公式

次は、今求めた速度 $v$ をもう一度 $t$ で積分して、位置 $x$ を出してみましょう。

$$\int v \; dt \; = \frac{1}{2}at^2+v_0t+C$$

ここでも初期条件（$t=0$ のとき $x=x_0$）を考えると、

$$\int v \; dt=x$$

先ほどと同様にt=0を代入してCを求めます。初期位置$x_0$より

$$x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$$

積分の基本的な操作だけで、教科書に出てくる等加速度運動時の速度と位置の公式が導き出せました。

力学的エネルギー保存則の導出

最後に、力学的エネルギー保存則を導き出しましょう。使うのは、物理の最重要ルール「運動方程式」です。

$$F=ma$$

ここが本記事一番の山場です。ゆっくり考えれば難しくないので、焦らずついてきてください。まず、両辺に速度 $v$ をかけます。加速度 $a = \frac{dv}{dt}$ であることを思い出しながら変形してみましょう。

$$Fv=mav$$ $$a= \frac{dv}{dt}$$

これを代入して、

$$mv \frac{dv}{dt}=Fv$$

ここで左辺に注目してください。これは $\frac{1}{2}mv^2$ を微分した形になっていることに気づけるでしょうか？（合成関数の微分の逆ですね）このことを用いて少し形を変形します。

$$m\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^2)=Fv$$

さらに、右辺の速度を $v = \frac{dx}{dt}$ と書き換えて、両辺を時間 $t$ で不定積分します。

$$\int m\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}v^2) dt=\int F \frac{dx}{dt} dt$$

左辺は微分が外れるだけ。右辺は、実は「位置エネルギー」の定義に関係しています。

補足1 　位置エネルギーの定義

$$U=- \int Fdx$$

力が「保存力（重力や弾性力など）」の場合、その仕事の負の値を位置エネルギーと定義ます。通常Uで表されるので慣習に習ってUとします。

補足2　微分・積分の性質

以下のようになっている時、分数の約分のように文字を打ち消すことができます。厳密には分数ではないけれど、微積分においては $dt$ を打ち消し合って変数を入れ替えるような操作が可能（置換積分）

$$\frac{dx}{dt} dt=dx$$

以上の定義および関係を用い、積分定数を $C'$ と置いて整理すると

$$\frac{1}{2}mv^2 =-U+C'$$

$-U$を左辺に移行して、、、

$$\frac{1}{2}mv^2 +U= C'$$

ついにきました。

$$\frac{1}{2}mv^2 +U= (一定）$$

これが「力学的エネルギー保存則」の正体です。

終わりに

ゆっくり説明したので時間がかかったように見えるかもしれませんが、やっていることは意外と単純です。 「公式を忘れたら、自分で作ればいい」というスタンスになれると、物理はもっと自由で楽しくなります。

ぜひ、この導出の流れを自分でも書き出してみて、楽しい物理ライフを満喫してください！