n乗の微分公式を理解する。なぜ成り立つのかを定義から解説

今回は

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

がなぜ成り立つのかを、微分の定義から丁寧に見ていきます。

さらに、

• 定数の微分はなぜ 0 なのか
• なぜ和ごとに微分できるのか
• なぜ $n$ が自然数でなくても成り立つのか

まで含めて、「公式のつながり」を理解します。

1. 微分の定義

微分は次の極限で定義されます。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

これは

「少しずらしたときの変化率」を極限まで縮めたもの

でした。

今回はここからどうして公式が成り立つのかを考えていきます。

この定義についてはこの記事で説明しています。

寄り道

2. $x^n$ の微分（$n$ が自然数）

$f(x)=x^n$ とすると

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$

です。

ここで $(x+h)^n$ を二項定理で展開すると

$$(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$$

これを代入すると

$$\frac{(x+h)^n-x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots}{h}$$

となります。

$h$ で割ると

$$nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots$$

となり、$h \to 0$ で後ろの項はすべて消えます。

したがって

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

となります。

3. 定数の微分はなぜ 0 か

まず、定数関数 $f(x)=c$ を考えます。

定義に戻ると

$$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{c-c}{h} = \lim_{h\to0} 0 = 0$$

です。

つまり

変化しないものは、変化率が 0

になります。

また $c = x^0$ と見れば

$$(x^0)' = 0 \cdot x^{-1} = 0$$

とも一致します。

つまり

定数の微分は、$x^n$ の公式の特別な場合になっている

と分かります。

4. 定数倍の場合はどうなるか

次に、関数に定数をかけた場合を考えます。

$$(cf(x))'$$

これを定義から計算すると

$$\begin{aligned} (cf)' &= \lim_{h\to0}\frac{c f(x+h)-c f(x)}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to0} c \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{aligned}$$

ここで、$c$ は $h$ に関係ない定数なので、極限の外に出すことができます。

$$= c \cdot \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

したがって

$$(cf)' = c f'(x)$$

となります。

つまり

定数倍はそのまま外に出せる

ということです。

これは、

変化の速さは、スケール（倍率）をかけると同じようにスケールされる

という自然な性質です。

例えば、関数の値を2倍にすれば、変化の速さも2倍になります。

この結果を使うと、

$$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2$$

や

$$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 6x$$

のように計算できるようになります。

5. 多項式の場合はどうなるか

それでは

$$x^2+2x$$

などの場合はどうなるのでしょうか。

次のような和の微分を考えてみます。

$$(f(x)+g(x))'$$

を定義から計算すると

$$\begin{aligned} (f+g)' &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \\[6pt] &= \lim_{h\to0} \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \end{aligned}$$

ここで極限は足し算に対して分配できるので

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

となります。

つまり

$$(f+g)' = f' + g'$$

です。

これは

変化率は足し合わせてもそのまま足される

という性質です。

これは$x^n$のような形に限らず、すべての関数において、和は別々で微分できることを表しています。

ここまでで

• $(x^n)'$ が分かった
• 和の微分ができる

ので、

$$x^2 + 2x$$

のような式も

$$(x^2)' + (x)'$$

と分けて考えられます。

$$(ax^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2x$$

となります。

したがって

$$(x^2 + 2x)' = 2x + 2$$

です。

このように、

多項式は項ごとに微分できる

ことが分かります。

6. $n$ が自然数でない場合

ここまでで $(x^n)'$ は自然数 $n$ で導きました。

では、分数の場合はどうでしょうか。

例えば

$$x^{1/2} = \sqrt{x}$$

です。

ここで

$$y = x^{1/2}$$

とおくと

$$y^2 = x$$

です。

両辺を微分すると

$$2y \frac{dy}{dx} = 1$$

となるので

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

つまり

$$(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$$

となります。

これは

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

に一致しています。

このようにして、この公式は

自然数だけでなく、分数や実数にも拡張される

ことが分かります。

まとめ

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

は

• 微分の定義
• 二項定理

から導かれます。

さらにこの公式は

• 定数の微分
• 和の微分
• 多項式の微分

とつながっており、

微分計算の基本構造そのもの

になっています。

そしてこの考え方は、分数や実数の指数にも自然に広がっていきます。