積の微分・商の微分・合成関数の微分はどうなるのか

前の記事では、微分とは

$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

によって定義されることを見ました。

寄り道

今回は、積の微分・商の微分・合成関数の微分が、実際にはどのような形になるのか見ていきます。

たとえば

$$y = x^2 \sin x$$

のように、関数が組み合わさった形を考えてみます。

このとき

「それぞれ微分して掛ければいいのでは？」

と思うかもしれません。

しかし実際には

$$(2x)(\cos x)$$

のようにはなりません。

つまり

単純にバラバラに微分するだけではうまくいかない

のです。

そこで、積・商・合成関数ではどのような形になるのかを順に見ていきます。

1 積の微分

$$y=f(x)g(x)$$

の微分がどうなるかを、定義からそのまま追ってみます。

微分の定義に入れると

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

です。

このままでは扱いにくいので、途中で

$$f(x+h)g(x)$$

を足して引きます。

$$\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &= \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \\[8pt] &= \frac{f(x+h)\{g(x+h)-g(x)\}}{h} + \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x)}{h} \end{aligned}$$

したがって

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) &= \lim_{h\to0} \left( f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x) \right) \\[8pt] &= f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \end{aligned}$$

となります。

したがって、積の微分は

$$(fg)' = f'g + fg'$$

です。

つまり

前を微分して後ろはそのまま + 前はそのままで後ろを微分

となります。

たとえば

$$y = x^2 \cdot \sin x$$

なら

$$y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$$

になります。

2 商の微分

次に、商

$$y = \frac{f(x)}{g(x)}$$

を考えます。

微分の定義にそのまま入れると、分数どうしの差が現れます。

まずはここを通分して 1 つの分数にまとめます。

すると分子は

$$f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)$$

となりますが、このままでは微分の定義の形が見えてきません。

そこで途中で

$$f(x)g(x)$$

を足して引き、分子を 2 つの差に分けます。

そうすると

• $f(x+h)-f(x)$ を含む部分
• $g(x+h)-g(x)$ を含む部分

が現れて、極限が取れる形になります。

まず、通分すると

$$\begin{aligned} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \lim_{h\to0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\[8pt] &= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)} \end{aligned}$$

となります。

ここで、分子に

$$f(x)g(x)-f(x)g(x)$$

を入れると

$$\begin{aligned} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)} \\[8pt] &= \lim_{h\to0} \left( \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x)}{h\,g(x+h)g(x)} - \frac{f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h\,g(x+h)g(x)} \right) \end{aligned}$$

となり、分子が 2 つの変化に分かれます。

あとは、それぞれを微分の定義の形に見直します。

$$\begin{aligned} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \lim_{h\to0} \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \\[8pt] &= \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\[8pt] &= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \end{aligned}$$

となります。

したがって、商の微分は

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

です。

これは

（上を微分 × 下 − 上 × 下を微分） / 下²

と覚えると整理しやすいです。

3 合成関数の微分

最後に、合成関数

$$y=f(g(x))$$

を考えます。

微分の定義にそのまま入れると

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}f(g(x)) &= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \end{aligned}$$

となります。

ここで、このままでは外側の関数 $f$ の変化と、内側の関数 $g$ の変化がひとまとまりになっていて見えにくいです。

そこで分母分子に

$$g(x+h)-g(x)$$

を掛けます。

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}f(g(x)) &= \lim_{h\to0} \left( \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \end{aligned}$$

すると、前半は $f$ の変化率、後半は $g$ の変化率になっています。

したがって

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

となります。

つまり

外側を微分して、中身はそのまま × 中身を微分

という形になります。

たとえば

$$y=(x^2+1)^3$$

では、外側の形は

$$(\,)^3$$

で、中身は

$$x^2+1$$

です。

したがって、外側を微分して中身はそのままにすると

$$3(x^2+1)^2$$

になります。

さらに中身を微分すると

$$2x$$

なので、

$$y' = 3(x^2+1)^2\cdot 2x$$

となります。

もう一つの見方として、中身を

$$u=g(x)$$

とおく方法もあります。

すると

$$y=f(u)$$

となるので、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

と考えることができます。

こちらは実際に計算するときに見通しを立てやすい考え方です。

たとえば

$$y=(x^2+1)^3$$

で

$$u=x^2+1$$

とおくと、

$$y=u^3$$

となります。

すると

$$\frac{dy}{du}=3u^2,\qquad \frac{du}{dx}=2x$$

なので、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} = 3u^2\cdot 2x = 3(x^2+1)^2\cdot 2x$$

となります。

まとめ

積・商・合成関数では、そのまま微分するのではなく、関数の組み合わさり方に応じて形を見分けることが大切です。

よく使う公式をまとめると、次の 3 つになります。

• 積 → $(fg)' = f'g + fg'$
• 商 → $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
• 合成 → $f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$