【オリジナル問題】2曲線が接する条件と面積の求め方

問題公開: 2026/3/14

微分積分の分野でよく出題される、2つの曲線が接する条件と、そのグラフに囲まれた面積を求める問題を作りました。レベル感としては、かなり基礎的な問題に位置すると思います。

$問題文$

前半の接する条件のパートと、後半の面積計算のパートに分かれています。

(前半) 接する条件から $a_0$ を求める

2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ がある点 $x = t$ で接するための条件は、以下の2つが同時に成り立つことです。

まず、それぞれの関数を微分します。

f(x) = \log x → f'(x) = \frac{1}{x}

g(x) = x^a → g'(x) = ax^{a-1}

接点の $x$ 座標を $t$ と置くと、上記の2つの条件から以下の方程式が立ちます。

\log t = t^a \quad \cdots ①

\frac{1}{t} = at^{a-1} \quad \cdots ②

式②の両辺に $t$ を掛けると、次のようになります。

1 = at^a

さらに、 $a(\ne 0)$ で割り、

t^a = \frac{1}{a} \quad \cdots ③

これを式①に代入します。

\log t = \frac{1}{a} \quad よって、\quad t = e^{\frac{1}{a}}

さらに、この $t$ を式③に代入して $a$ を求めます。

\begin{aligned} \left( e^{\frac{1}{a}} \right)^a &= \frac{1}{a} \\[20pt] e &= \frac{1}{a} \\[20pt] \therefore \quad a &= \frac{1}{e} \quad \cdots (\text{前半の答え}) \end{aligned}

したがって、求める値は $a_0 = \frac{1}{e}$ となります。また、このときの接点の座標は $t = e^e$ となり、接点の $y$ 座標は $\log(e^e) = e$ です。つまり、接点は $(e^e, e)$ となります。

次に、曲線 $y = \log x$ 、 $y = x^{\frac{1}{e}}$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。グラフ上ではどうなっているか見てみましょう。

赤が $y = \log x$ 、紫が $y = x^{\frac{1}{e}}$ 、緑が $x = e^{e}$ を表しています。ここで、面積を求めるための積分方向について考えてみましょう。

積分方向	立式	計算の手間
$x$ 軸方向（縦に切る）	$S = \int_0^{e^e} x^{\frac{1}{e}} dx - \int_1^{e^e} \log x dx$	$\log x$ の部分積分が必要で、項も多くなり少し複雑になりそう
$y$ 軸方向（横に切る）	$S = \int_0^e (e^y - y^e) dy$	積分範囲が分かれず、さらに指数関数と累乗の基本公式だけで完了するため、簡単そう

したがって、横に切って積分するほうが方針として楽そうです。

計算が楽になりそうな $y$ 軸方向の積分 を採用します。

まず、それぞれの関数を「 $x = \cdots$ 」の形に変形します。

囲まれている領域の $y$ の範囲は、 $x$ 軸（ $y = 0$ ）から、接点の $y$ 座標（ $y = e$ ）までです。したがって、面積 $S$ は「右の曲線－左の曲線」を $y$ で積分すれば求まります。

\begin{aligned} S &= \int_{0}^{e} (e^y - y^{e}) dy \\[20pt] &= \left[ e^y - \frac{y^{e+1}}{e+1} \right]_{0}^{e} \\[20pt] &= \left( e^{e} - \frac{e^{e+1}}{e+1} \right) - \left( e^0 - 0 \right) \\[20pt] &= e^{e} - \frac{e \cdot e^{e}}{e+1} - 1 \\[20pt] &= e^{e} \left( 1 - \frac{e}{e+1} \right) - 1 \\[20pt] &= e^{e} \left( \frac{e+1-e}{e+1} \right) - 1 \\[20pt] &= \frac{e^{e}}{e+1} - 1 \quad \cdots (\text{後半の答え}) \end{aligned}

これが求める面積です。 $y$ 軸方向で積分することで、面倒な部分積分を回避し、スマートに解答を導くことができました。 $\\$ $\\$

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