logとは何か？対数の意味を理解する

前の記事では、指数法則から

• $a^0$
• 負の指数
• 分数乗

がどのように定義されるのかを見ました。

寄り道

指数を使うと、例えば

$$2^3 = 8$$

のように計算できます。

これは 「2 を3回かけると 8 になる」 という意味でした。

では次の式を考えてみます。

$$2^x = 10$$

このとき、$x$ はいくつでしょうか。

指数の形のままでは、この値をすぐに求めることはできません。

このような 「指数を求める問題」 を扱うために生まれたのが 対数（log） です。

1. 対数の定義

対数は、指数の逆の操作です。

一般に

$$a^x = b$$

のとき

$$\log_a b = x$$

と定義します。

つまり対数とは

「a を何回かけると b になるか」を返す操作

なのです。

2. 対数の例

では実際に対数を計算してみます。

例えば

$$\log_2 8$$

を考えてみます。

$$2^3 = 8$$

より

$$\log_2 8 = 3$$

となります。

同じように

$$10^3 = 1000$$

なので

$$\log_{10} 1000 = 3$$

となります。

3. 対数の性質

対数には次のような重要な性質があります。 （以下では $a>0$、$a\neq 1$、$b>0$、$c>0$ を前提とします。）

積の対数

$$\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$$

商の対数

$$\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c$$

累乗の対数

$$\log_a (b^n) = n\log_a b$$

これらの性質は、指数法則から自然に導くことができます。

3.1 積の対数が成り立つ理由

$$\log_a b = x,\quad \log_a c = y$$

とすると

$$a^x = b,\quad a^y = c$$

です。これらを掛けると

$$bc = a^x a^y = a^{x+y}$$

となります。したがって

$$\log_a (bc) = x + y = \log_a b + \log_a c$$

が成り立ちます。

3.2 商の対数が成り立つ理由

同様に

$$\log_a b = x,\quad \log_a c = y$$

とすると

$$b = a^x,\quad c = a^y$$

なので

$$\frac{b}{c} = \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

したがって

$$\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = x-y = \log_a b - \log_a c$$

となります。

3.3 累乗の対数が成り立つ理由

$$\log_a b = x$$

とすると

$$b = a^x$$

です。両辺を $n$ 乗すると

$$b^n = (a^x)^n = a^{xn}$$

なので

$$\log_a (b^n) = xn = n\log_a b$$

となります。

4. 対数関数

指数関数

$$y = 2^x$$

を考えます。

この式では

• $x$ を入力すると
• $y$ が決まります

つまりこれは 関数 です。

対数はこの関数の逆になっています。

つまり

$$x = \log_2 y$$

という関係になります。

ここでは底 2 の対数関数と指数関数を同じグラフに重ねて見ます。 対数関数は指数関数の「逆」になっていることが分かります。

まとめ

指数では

$$2^3 = 8$$

のように、指数から値を求めます。

一方、対数では

$$\log_2 8 = 3$$

のように

値から指数を求めます。

つまり対数とは

指数の逆の操作

なのです。

この対数の考え方は、

• ネイピア数
• 微分積分

などにつながっていきます。