0乗や−1乗とは？指数法則からわかる指数の意味

数学では、次のような式をよく見かけます。

$$2^3 = 8$$

これは

$$2 \times 2 \times 2$$

という意味です。

では次のような式はどうでしょうか。

$$2^0$$

答えは

$$2^0 = 1$$

です。

さらに

$$2^{-1} = \frac{1}{2}$$

という式もあります。

しかし、どうしてこのようになるのでしょう。 今までの「同じ数を何回かかける」という定義だけを見ると、

• 0回かけると 1 になる
• −1回かけると逆数になる

というのは少し不思議に感じるかもしれません。

実はこれらは、指数法則を壊さないようにすると自然に決まるものです。

この記事では、指数法則から指数の意味を見ていきます。

1. 指数法則

指数には、次のような基本的な性質があります。これを 指数法則 と呼びます。

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ $$(a^m)^n = a^{mn}$$ $$(ab)^n = a^n b^n$$

これらの式は、累乗の意味を考えると自然に理解できます。

1.1 積の法則

例えば

$$2^3 \times 2^2$$

を考えてみます。

$$(2 \times 2 \times 2)(2 \times 2)$$

なので

$$2^5$$

になります。

つまり

$$2^3 \times 2^2 = 2^{3+2}$$

となります。

これは「同じ数を何回かけるか」を数え直しているだけです。

1.2 商の法則

次に割り算を考えてみます。

$$\frac{2^5}{2^3}$$

は

$$\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2}$$

なので、上と下で同じ数を消すと

$$2 \times 2$$

が残ります。

つまり

$$2^2$$

です。

これは

$$2^{5-3}$$

とも書けるので

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

という関係になります。

1.3 累乗の累乗

次に

$$(2^3)^2$$

を考えてみます。

これは

$$(2 \times 2 \times 2)^2$$

という意味なので

$$(2 \times 2 \times 2)(2 \times 2 \times 2)$$

となります。

つまり 2が全部で6回 かけられています。

したがって

$$2^6$$

になります。

これは

$$2^{3\times2}$$

とも書けるので

$$(a^m)^n = a^{mn}$$

となります。

1.4 積の累乗

最後に

$$(ab)^3$$

を考えてみます。

これは

$$(ab)(ab)(ab)$$

という意味です。

これを並べ替えると

$$a a a \times b b b$$

になります。

つまり

$$a^3 b^3$$

となります。

したがって

$$(ab)^n = a^n b^n$$

が成り立ちます。

ここまでが、自然数の指数で成り立つ基本的な法則です。

この法則を どんな指数でも成り立つように拡張する と考えると、 0 や負の数、分数の累乗を自然に定義することができます。

2. なぜ $a^0 = 1$ になるのか

ここで次の式を考えます。

$$\frac{a^3}{a^3}$$

同じ数で割るので、答えは

$$1$$

です。

しかし指数法則を使うと

$$\frac{a^3}{a^3} = a^{3-3}$$

となります。

つまり

$$a^{3-3} = a^0$$

です。

したがって

$$a^0 = 1$$

でなければ、指数法則が成り立たなくなります。

つまり

指数法則を保つために、0乗は1と定義される

のです。

3. なぜ負の指数があるのか

次に、次の式を考えてみます。

$$\frac{a^2}{a^3}$$

指数法則を使うと

$$a^{2-3}$$

なので

$$a^{-1}$$

になります。

一方、普通に計算すると

$$\frac{a^2}{a^3} = \frac{a^2}{a^2 \cdot a} = \frac{1}{a}$$

です。

つまり

$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$

になります。

同じように

$$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$

となります。

つまり

負の指数は逆数を表す

ことになります。

4. 分数乗は何を意味するのか

では次のような式はどうでしょうか。

$$a^{1/2}$$

指数法則を使うと

$$(a^{1/2})^2 = a^{1}$$

になります。

つまり

$$a^{1/2}$$

は

$$\sqrt{a}$$

である必要があります。

同じように

$$a^{1/3}$$

は

$$\sqrt[3]{a}$$

になります。

つまり

分数乗は根号を表す

ことになります。

5. 指数は連続して広がる

ここまで見ると、指数は次のように広がっていることが分かります。

$$a^3,\ a^2,\ a^1,\ a^0,\ a^{-1},\ a^{-2}$$

さらに

$$a^{1/2},\ a^{3/2},\ a^{1/3}$$

のように、指数は 整数だけでなく分数にも広がります。

このように指数を連続的に拡張していくと、

$$a^x$$

という形の関数を考えることができます。

これを 指数関数 と呼びます。

6. 指数関数のグラフ

指数が整数だったとき、値は次のような並びになります。

$$2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8,\quad 2^4 = 16$$

これは

$$2,4,8,16,\dots$$

という 数列 として考えることができます。

しかし指数を分数まで広げると、

$$2^{1/2},\quad 2^{3/2},\quad 2^{1/3}$$

のような値も定義できるようになります。

すると、整数の間の値も埋めることができます。

例えば

$$2^1,\quad 2^{1.5},\quad 2^2$$

のように、指数を少しずつ変えると値も少しずつ変化します。

さらに指数を すべての実数 に広げると、

$$y = 2^x$$

という 連続的な関数 として考えることができます。

この関数をグラフにすると次のような形になります。

このグラフから分かるポイントは次の通りです。

• $x$ が増えると 急激に増える
• $x$ が負になると 0 に近づく
• $x$ を少し増やすと 値が一定の割合で増える

もともとは

$$2,4,8,16,\dots$$

という 離れた値の並びとして考えていたものが、

指数を実数まで広げることで なめらかな曲線として表せる関数になります。

これが 指数関数 です。

まとめ

指数には、次のような重要な性質があります。

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

この 指数法則 を壊さないようにすると、

• $a^0 = 1$
• $a^{-1} = \frac{1}{a}$
• $a^{1/2} = \sqrt{a}$

といった定義が自然に決まります。

つまり、0乗や負の指数は特別なルールではなく

指数法則を保つために必然的に決まる

ものなのです。