三角関数の積分テクニック総まとめ｜三角置換・半角置換・部分積分の使い分け

三角関数が絡む積分では、通常の置換積分だけで押し切れない問題が出てきます。 ここでは、次の順で理解できるように整理します。

1. まず「どの手法を使うか」の判定ルール
2. 次に三角置換の基本3パターン
3. そのあと、半角・倍角・積和で式を整理する方法
4. 定積分での区間変換
5. 発展（半角置換 / 判別式 / 図形的理解 / 奇偶判定 / 部分積分併用）

前回の基礎記事（置換積分の基本）は以下です。

• 置換積分の解き方【公式・例題付き】定積分でミスしないコツを解説

1. まずは判定：通常置換か、三角置換か

この章は、記事全体の「地図」です。 先に手法を決めると、後の章を迷わず使えます。

1.1 最初の分岐（ここだけ先に覚える）

• $\sin(ax+b),\cos(ax+b)$ の合成関数：通常の $u$ 置換
• 根号 $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin\theta$
• 根号 $\sqrt{x^2+a^2}$：$x=a\tan\theta$
• 根号 $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=\frac{a}{\cos\theta}$
• 根号がなくても式が複雑：半角・倍角・積和で先に変形（3章）

この5つで、ほとんどの典型問題を仕分けできます。

1.2 なぜ三角置換が効くのか

目的は、根号の中を「2乗」にすることです。

• $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$
• $1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$
• $\frac{1}{\cos^2\theta}-1=\tan^2\theta$

この変換で根号が外れると、あとは通常の積分になります。 2章はこの原理を3パターンに分けて丁寧に計算しています。

1.3 実戦チェック（解く前に毎回確認）

1. どの型か（根号3型 or 公式変形型）を先に決めたか
2. 置換後に $dx$ と根号を同時に変換したか
3. 定積分なら区間を先に変換したか
4. 最後に元の変数へ戻したか（定積分で戻さない場合は区間が新変数になっているか）

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2. 基礎3パターン（例題つき）

ここは「型を覚える」だけでなく、なぜ整理できるかを確認しながら読むのがポイントです。 以下では簡単のため $a>0$ とします。

2章は「根号がある問題」の標準処理です。 3章は「根号がないが式が複雑な問題」を扱います。

2.1 ルート（a^2 - x^2）型

$$I=\int_0^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

で

$$x=a\sin\theta,\quad dx=a\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{a^2-x^2}=a|\cos\theta|$$

と置けば

$$I=\int d\theta$$

区間は

$$x=0\Rightarrow\theta=0,\qquad x=\frac{a}{2}\Rightarrow\sin\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{6}$$

なので

$$I=\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}$$

となります。

この型が解ける理由は、$a^2-x^2$ を

$$a^2-a^2\sin^2\theta=a^2(1-\sin^2\theta)=a^2\cos^2\theta$$

とできるからです。 実際は $a|\cos\theta|$ ですが、通常は $-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ を選び、$\cos\theta\ge0$ として計算します。

2.2 ルート（x^2 + a^2）型

$$I=\int_0^a \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

で

$$x=a\tan\theta,\quad dx=\frac{a}{\cos^2\theta}\,d\theta,\quad \sqrt{x^2+a^2}=\frac{a}{|\cos\theta|}$$

より

$$I=\int \frac{1}{\cos\theta}\,d\theta$$

区間は

$$x=0\Rightarrow \theta=0,\qquad x=a\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}$$

なので

$$I=\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\cos\theta}\,d\theta =\int_0^{\pi/4}\frac{\cos\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta$$ $$u=\sin\theta,\quad du=\cos\theta\,d\theta,\quad \cos^2\theta=1-u^2$$ $$I=\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{du}{1-u^2} =\frac{1}{2}\int_0^{1/\sqrt{2}}\left(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u}\right)du$$ $$=\frac{1}{2}\left[\log\left|\frac{1+u}{1-u}\right|\right]_0^{1/\sqrt{2}} =\frac{1}{2}\log\!\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right) =\log(\sqrt{2}+1)$$

この型では

$$x^2+a^2=a^2\tan^2\theta+a^2=a^2(1+\tan^2\theta)=\frac{a^2}{\cos^2\theta}$$

となるため、根号が $\frac{a}{|\cos\theta|}$ に簡単化されます。 通常は $\theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ を取り、$\cos\theta>0$ として進めます。

2.3 ルート（x^2 - a^2）型

$$I=\int_a^{2a} \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$$

で

$$x=\frac{a}{\cos\theta},\quad dx=\frac{a\sin\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta,\quad \sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|$$

とすると

$$I =\int \frac{1}{\cos\theta}\,d\theta$$

区間は

$$x=a\Rightarrow \theta=0,\qquad x=2a\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$$

なので

$$I=\int_0^{\pi/3}\frac{1}{\cos\theta}\,d\theta =\int_0^{\pi/3}\frac{\cos\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta$$ $$u=\sin\theta,\quad du=\cos\theta\,d\theta,\quad \cos^2\theta=1-u^2$$ $$I=\int_0^{\sqrt{3}/2}\frac{du}{1-u^2} =\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}/2}\left(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u}\right)du$$ $$=\frac{1}{2}\left[\log\left|\frac{1+u}{1-u}\right|\right]_0^{\sqrt{3}/2} =\frac{1}{2}\log\!\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right) =\log(2+\sqrt{3})$$

この型の本質は

$$\frac{1}{\cos^2\theta}-1=\tan^2\theta$$

を使って、$x^2-a^2$ を $a^2\tan^2\theta$ に変えることです。 実際は $a|\tan\theta|$ ですが、区間を選んで符号を固定すると整理しやすくなります。

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3. 半角・倍角・積和で先に式を整理する

ここまでの2章は「根号を三角置換で処理する型」でした。 一方で実戦では、根号がなくても

• 形がそのままだと積分しにくい
• 公式変形すると一気に解きやすくなる

という問題が多く出ます。 この章では、先に典型変換を一覧化してから例題に入ります。

3.1 典型変換パターン一覧

A. 半角公式（分母に $1\pm\cos x$ があるとき）

$$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},\qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

使いどころ：

• $\int \frac{dx}{1+\cos x}$
• $\int \frac{dx}{1-\cos x}$

B. 倍角公式（$\sin x\cos x$ の積があるとき）

$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

使いどころ：

• $\int \sin x\cos x\,dx$
• $\int x\sin x\cos x\,dx$（先に簡単化してから別手法）

C. 2乗降下公式（$\sin^2,\cos^2$ があるとき）

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

使いどころ：

• $\int \sin^2 x\,dx$
• $\int \cos^2 x\,dx$
• $\int \sin^2 x\cos x\,dx$（片側を簡単化）

D. 積和公式（周波数が違う積があるとき）

$$\sin A\cos B=\frac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$$ $$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$$ $$\sin A\sin B=\frac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$$

使いどころ：

• $\int \sin 3x\cos x\,dx$
• $\int \cos 2x\cos x\,dx$

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3.2 例題1：半角公式でそのまま積分する

$$\int \frac{dx}{1+\cos x}$$

は、いきなり積分しにくいので

$$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$

を使って

$$\int \frac{dx}{1+\cos x} =\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\cos^2\frac{x}{2}} =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{\cos\frac{x}{2}}\right)^2 dx$$

さらに

$$\frac{d}{dx}\tan\frac{x}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos\frac{x}{2}}\right)^2$$

より

$$\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{\cos\frac{x}{2}}\right)^2 dx =\tan\frac{x}{2}+C$$

となります。

3.3 例題2：倍角公式でそのまま積分する

$$\int \sin x\cos x\,dx$$

は

$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

を使って

$$\int \sin x\cos x\,dx =\frac{1}{2}\int \sin 2x\,dx =-\frac{1}{4}\cos 2x + C$$

です。

3.4 例題3：積和公式で和の形に変換

$$\int \sin 3x\cos x\,dx$$

に積和公式を使うと

$$\sin 3x\cos x =\frac{1}{2}\{\sin 4x+\sin 2x\}$$

なので

$$\int \sin 3x\cos x\,dx =\frac{1}{2}\int (\sin 4x+\sin 2x)\,dx =-\frac{1}{8}\cos 4x-\frac{1}{4}\cos 2x + C$$

となります。

3.5 使い分けの実戦チェック

1. 根号がある：2.1〜2.3 の三角置換を優先
2. 根号がないが三角式が複雑：まずこの章の公式変形
3. 変形後に内側と微分がそろうなら、通常の $u$ 置換へ接続

この順で判定すると、典型問題をかなり漏れなく処理できます。

ここまでで不定積分の基本ルートは揃います。 次の4章で、定積分の区間変換ミスを防ぎます。

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4. 定積分での最重要ポイント（区間変換）

三角置換は、定積分だと区間変換ミスが最頻出です。

ここは計算力というより手順管理の章です。 「置換したらすぐ区間を変える」を徹底します。

例：

$$I=\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

で $x=a\sin\theta$ と置くと

• $x=0\Rightarrow\theta=0$
• $x=\frac{a}{2}\Rightarrow\sin\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{6}$

なので

$$I=\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}$$

となります。

置換したらすぐ区間を書くを習慣にすると、定積分の失点が激減します。

補足：定積分では「戻し忘れ」より「区間変換漏れ」の方が多いです。 先に区間を書いてから式変形すると、変数混在の事故を防げます。

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5. 発展①：t = tan(θ/2)（半角置換）

ここから先は発展です。 必要な章だけつまみ読みしても問題ありません。

三角関数の有理式

$$R(\sin\theta,\cos\theta)$$

には、半角置換が効きます。

ここでいう「有理式」とは、例えば次のように 分母・分子が $\sin\theta,\cos\theta$ の多項式になっている式のことです。

• $\frac{1}{1+\cos\theta}$
• $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$
• $\frac{1+\sin\theta}{2-\cos\theta}$

このタイプは、$\sin\theta,\cos\theta$ が混ざっているため、通常の $u$ 置換だと一発では整理しにくいことが多いです。 半角置換を使うと、全部 $t$ だけの分数（有理式）になるので計算しやすくなります。

$$t=\tan\frac{\theta}{2}$$

とおくと

$$\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad d\theta=\frac{2}{1+t^2}dt$$

となり、積分が $t$ の有理式に落ちます。

例：

$$\int \frac{d\theta}{1+\cos\theta}$$

は

$$1+\cos\theta=\frac{2}{1+t^2},\quad d\theta=\frac{2}{1+t^2}dt$$

なので

$$\int \frac{d\theta}{1+\cos\theta}=\int dt=t+C=\tan\frac{\theta}{2}+C$$

です。

もう1問だけ見ます。

$$\int \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\,d\theta$$

半角置換で

$$\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad d\theta=\frac{2}{1+t^2}dt$$

を入れると

$$1+\cos\theta=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}$$

なので

$$\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\,d\theta =\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt =\frac{2t}{1+t^2}dt$$

したがって

$$\int \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\,d\theta =\int \frac{2t}{1+t^2}\,dt =\log(1+t^2)+C$$

最後に $t=\tan\frac{\theta}{2}$ を戻して

$$\int \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\,d\theta =\log\!\left(1+\tan^2\frac{\theta}{2}\right)+C$$

となります（$\log\!\left|\dfrac{1}{\cos^2(\theta/2)}\right|+C$ と同値）。

使いどころは、$R(\sin\theta,\cos\theta)$ のような「三角関数の有理式」です。 通常の置換で内側と微分がそろわないとき、半角置換は強い選択肢になります。

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6. 発展②：二次式の分母を判別式 D で完全攻略

この章で扱うのは、次の形です。

$$\int \frac{dx}{x^2+bx+c}$$

三角積分の途中や、置換後によく現れます。 この形は判別式

$$D=b^2-4c$$

の符号で解き方が決まります。最初に対応をまとめると次の通りです。

• D < 0：平方完成して $u^2+a^2$ 型にする
• D = 0：$(x-r)^2$ 型として処理する
• D > 0：因数分解して部分分数分解する

ここでは逆三角関数の記号を使わず、定積分の代表例で確認します。

6.1 D < 0：平方完成して三角置換

例：

$$I_-=\int_{-1}^{0}\frac{dx}{x^2+2x+2}$$

このとき

$$D=2^2-4\cdot 2=-4<0$$

なので平方完成します。

$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$$

ここで

$$u=x+1$$

とおくと区間は $x:-1\to0$ から $u:0\to1$ へ変わり

$$I_-=\int_0^1\frac{du}{u^2+1}$$

さらに

$$u=\tan\theta,\quad du=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta,\quad 1+u^2=\frac{1}{\cos^2\theta}$$

より

$$I_-=\int_0^{\pi/4} d\theta=\frac{\pi}{4}$$

となります。

6.2 D = 0：重解なので二乗分母

例：

$$I_0=\int_0^1\frac{dx}{x^2+2x+1} =\int_0^1\frac{dx}{(x+1)^2}$$

なので

$$I_0=\left[-\frac{1}{x+1}\right]_0^1=\frac{1}{2}$$

です。

6.3 D > 0：因数分解して部分分数分解

例：

$$I_+=\int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2-3x+2}$$

このとき

$$D=(-3)^2-4\cdot 2=1>0$$

なので

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$

と因数分解でき、

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}$$

より

$$I_+=\int_0^{1/2}\left(-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\right)dx$$ $$=\left[-\log|x-1|+\log|x-2|\right]_0^{1/2} =\log\frac{3}{2}$$

となります。

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まとめると

• D<0：平方完成（必要なら三角置換）
• D=0：二乗分母
• D>0：因数分解 + 部分分数分解

の3パターンで、∫ dx/(x^2+bx+c) はすべて処理できます。

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7. 図形的に理解すると戻しで迷わない

三角置換の戻しで止まる人は、直角三角形で対応を作ると楽になります。

7.1 x = a tanθ の場合

$$\tan\theta=\frac{x}{a}$$

なので、

• 対辺：$x$
• 隣辺：$a$
• 斜辺：$\sqrt{x^2+a^2}$

と取れば

$$\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$$

が一発で読めます。

7.2 x = a/cosθ の場合

$$\frac{1}{\cos\theta}=\frac{x}{a}$$

なので

• 斜辺：$x$
• 隣辺：$a$
• 対辺：$\sqrt{x^2-a^2}$

として

$$\tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$$

を戻せます。

図形化すると、式変形だけで追うより符号ミスを防ぎやすくなります。

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8. 発展③：sin^m x cos^n x の奇偶判定

三角積分で最も頻出なのが、この奇偶判定です。 先に指数の偶奇を見るだけで、使う手法がほぼ決まります。

• $\sin$ の指数が奇数：$\sin x$ を1つ残して、残りを $\cos x$ で表す
• $\cos$ の指数が奇数：$\cos x$ を1つ残して、残りを $\sin x$ で表す
• 両方偶数：半角公式（3章）へ

例1：sin の指数が奇数

$$\int \sin^3 x\cos x\,dx$$

は

$$u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx$$

で

$$\int \sin^3 x\cos x\,dx=\int u^3\,du=\frac{1}{4}\sin^4 x+C$$

例2：両方偶数

$$\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx$$

は

$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

より

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x =\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$$

として積分できます。 このケースは「置換」より「公式変形」が主役です。

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9. 発展④：部分積分との併用（多項式 × 三角関数）

次のような問題では、置換だけでは進みにくく、部分積分が必要です。

$$\int x\sin x\,dx,\quad \int x^2\cos x\,dx$$

9.1 基本例：x sin x 型

$$\int x\sin x\,dx =x(-\cos x)-\int 1\cdot(-\cos x)\,dx$$ $$=-x\cos x+\sin x+C$$

9.2 どこで併用するか

• 先に三角公式で簡単化できるなら簡単化する
• その後に「多項式 × 三角関数」が残るなら部分積分

つまり実戦では 公式変形 -> 置換 or 部分積分 の順で判断すると安定します。

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10. 実戦で崩れやすいミス8選

最後の確認用チェックリストです。 本番前にここだけ見直しても効果があります。

1. 置換後の $dx$ を変換し忘れる 対策：置換した直後に「$dx=\cdots$」を1行で書く
2. 根号の符号条件を無視する 例：$\sqrt{1-\sin^2\theta}=|\cos\theta|$ をそのまま $\cos\theta$ にしてしまう 対策：$\theta$ の範囲を先に決める
3. 定積分で区間変換をしない 対策：置換の直後に上下限を書き換える
4. $\frac{1}{\cos\theta},\tan\theta$ を $x$ に戻す途中で対応を取り違える 対策：直角三角形を1回描いてから戻す
5. 半角・倍角・積和の公式を混同する 対策：使う公式を先に1つだけ書いてから式変形する
6. 公式変形と置換の順番が逆になる 対策：「先に形を整える -> その後で置換」を徹底する
7. D の場合分けをせずに二次式分母へ突っ込む 対策：$\int \frac{dx}{x^2+bx+c}$ が出たら、まず D=b^2-4c を計算する
8. 途中で「どの章の手法か」を見失う 対策：解く前に「2章型 / 3章型 / 6章型」を1つ宣言する

チェックリスト化しておくと、本番で崩れにくくなります。

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11. 例題演習

次の問題は、この記事の内容に対応しています。 まず自分で解いてから、解答を開いて確認してください。

問題1

$$\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

解答・解説を見る

対応章：2章（ルート（a^2 - x^2）型）

$$x=\sin\theta,\quad dx=\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{1-x^2}=\cos\theta$$

区間変換：

$$x=0\Rightarrow\theta=0,\qquad x=\frac12\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{6}$$

したがって

$$\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\int_0^{\pi/6}d\theta =\frac{\pi}{6}$$

問題2

$$\int \frac{dx}{1-\cos x}$$

解答・解説を見る

対応章：3章（半角公式）

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

なので

$$\int \frac{dx}{1-\cos x} =\frac12\int \frac{dx}{\sin^2\frac{x}{2}}$$ $$\frac{d}{dx}\cot\frac{x}{2} =-\frac12\csc^2\frac{x}{2}$$

を使って

$$\int \frac{dx}{1-\cos x} =-\cot\frac{x}{2}+C$$

問題3

$$\int_0^{1/3}\frac{dx}{x^2-5x+6}$$

解答・解説を見る

対応章：6章（D > 0）

$$D=(-5)^2-4\cdot 6=1>0$$

なので

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ $$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}$$

より

$$\int_0^{1/3}\frac{dx}{x^2-5x+6} =\left[-\log|x-2|+\log|x-3|\right]_0^{1/3} =\log\frac{8}{7}$$

問題4

$$\int \sin^5 x\cos x\,dx$$

解答・解説を見る

対応章：8章（奇偶判定）

$$u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx$$

なので

$$\int \sin^5 x\cos x\,dx =\int u^5\,du =\frac{u^6}{6}+C =\frac{\sin^6 x}{6}+C$$

問題5

$$\int x\cos x\,dx$$

解答・解説を見る

対応章：9章（部分積分併用）

部分積分：

$$f(x)=x,\quad g'(x)=\cos x,\quad f'(x)=1,\quad g(x)=\sin x$$ $$\int x\cos x\,dx =x\sin x-\int \sin x\,dx =x\sin x+\cos x + C$$

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まとめ

最後に、実戦での流れを1本にまとめます。

1. 先に型を判定する（根号の型か、公式変形型か）
2. 根号型なら三角置換、非根号型なら半角・倍角・積和を先に使う
3. 定積分では区間を先に変換する
4. 戻しで迷ったら図形を使う
5. 多項式が残ったら部分積分との併用を考える

この順番で解けば、三角関数が絡む積分の典型問題はかなり安定して解けます。

まずは1パターンずつ、手を動かして型を固定してみてください。