積分は微分形を見抜け｜置換積分を最短で解く公式と典型パターン完全版

積分は「計算力」より先に、 式の見方で差がつきます。

特に、

• 分母の中身
• 根号の中身
• 三角関数や指数関数の中身

の近くに、その微分があるときは **微分形（導関数型）**として最短で解けます。

この記事では、次の流れで整理します。

1. 微分形で速くなる理由
2. 公式の導出と使い方
3. 置換を書かずに読むコツ
4. 定積分・ミス対策・演習

この記事は、置換積分をできるだけ速く解くための考え方を整理する記事です。 置換積分を基礎から順番に学びたい場合は、先にこちらを読んでください。

• 置換積分の解き方【公式・例題付き】典型問題と定積分でミスしないコツを解説

1. 微分形を見抜くと、なぜ速くなるのか

先に結論です。積分で速くなるかどうかは、 次の形を見抜けるかでほぼ決まります。

$$\int F(g(x))g'(x)\,dx$$

このとき、内側を

$$u=g(x)$$

とおくと微分して

$$du=g'(x)\,dx$$

が出るので、

$$\int F(g(x))g'(x)\,dx=\int F(u)\,du$$

と変換できます。

1.1 なぜこれで正しいか（連鎖律の逆）

合成関数の微分は

$$\frac{d}{dx}\Phi(g(x))=\Phi'(g(x))g'(x)$$

です。これを「逆向き」に読むと

$$\int \Phi'(g(x))g'(x)\,dx=\Phi(g(x))+C$$

になります。

つまり積分は、 「外側の関数を戻す」作業であり、 そのために 中身の微分が横にあること が必要です。

1.2 公式としてまとめる

ここまでを、実戦で使う形にまとめると次です。

$$\text{もし }F'(u)=f(u)\text{ なら }\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C$$

これが「微分形の接触」を使う公式です。 この1本を、以降の全章で使います。

導出を見る（置換から導く）

まず

$$u=g(x),\quad du=g'(x)\,dx$$

とおくと

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$$

です。ここで $F'(u)=f(u)$ を満たす原始関数 $F$ を使えば

$$\int f(u)\,du=F(u)+C$$

なので

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C$$

を得ます。

導出を見る（連鎖律の逆）

連鎖律より

$$\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$$

なので、両辺を積分して

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C$$

となります。

1.3 どこを見るか（実戦の視点）

式を見たら、次の順で確認します。

1. 中身候補 $g(x)$ を探す（分母・根号・指数・三角関数の中）
2. 近くに $g'(x)$ があるか確認する
3. 係数が違うなら定数調整できるか確認する

例えば

$$\int \frac{6x}{3x^2+1}\,dx$$

では、分母の中身は $3x^2+1$、その微分は $6x$ なので すぐに微分形です。

一方で

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

は分母の微分が $2x$ なので、 $\frac12$ を作る調整が必要です。

この「係数調整まで含めて見抜く」のが、微分形の基本です。

2. 置換を書かずに解けるコツ（公式の暗算適用）

ここで言う「置換を書かずに解く」は、置換をやっていないのではなく、 置換を頭の中で短く実行しているという意味です。 言い換えると、1.2の公式

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C\quad(F'=f)$$

を、毎回の問題に暗算で当てはめています。

2.1 頭の中でやっている4ステップ

1. 中身を決める（$u=g(x)$ を心の中で確定）
2. 微分を確認する（$du=g'(x)dx$ が作れるか確認）
3. 係数をそろえる（足りない定数を前に出す）
4. 原始関数を戻す（$u$ の結果を $g(x)$ に戻す）

この4ステップを1行で実行できると、直接読みになります。

2.2 直接読んでよい条件

1. 中身が1つに定まる（$g(x)$ を迷わない）
2. その微分が同時に見える（係数違いまで把握できる）
3. 定積分なら上下限処理を最後まで安全に追える

この3つを満たすときだけ省略します。 怪しければ、置換を明示する方が正確です。

2.3 まずは置換で解く -> 慣れたら省略する

同じ問題を、まず「置換を明示する解法」で解きます。 そのあと、どこを省略できるかを確認します。

例：

$$\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx$$

置換を明示すると

$$u=1+x^2,\quad du=2x\,dx$$

なので

$$\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx =\int \frac{1}{u}\,du =\log|u|+C =\log(1+x^2)+C$$

となります。 このとき

• $f(u)=\frac{1}{u}$
• $F(u)=\log|u|$
• $g(x)=1+x^2$

なので、公式に直接当てると $F(g(x))=\log(1+x^2)$ と読めます。

慣れてきたら、次の2行を頭の中で処理して省略できます。

1. $u=1+x^2,\ du=2x\,dx$
2. 最後の $u\to x$ への戻し

要するに、頭の中で $\int \frac{1}{u}\,du$ を計算して、 最後に $u=1+x^2$ を代入するだけなので、 この型は途中式をかなり短くできます。

その結果、紙の上では

$$\int \frac{2x}{1+x^2}\,dx=\log(1+x^2)+C$$

と短く書けます。

2.5 例2（係数調整あり）

$$\int (3x+1)^5\,dx$$

頭の中では

• $u=3x+1$
• $du=3\,dx$ なので $dx=\frac{1}{3}du$

と読んでいるので

$$\int (3x+1)^5\,dx =\frac{1}{3}\int u^5\,du =\frac{1}{3}\cdot\frac{u^6}{6}+C =\frac{(3x+1)^6}{18}+C$$

となります。 ここでは

• $f(u)=u^5$
• $F(u)=\frac{u^6}{6}$
• $g(x)=3x+1$

を使っており、係数 $\frac13$ を調整すれば 公式の形にそのまま一致します。

ここで省略できるポイントは、次の2つです。

1. $u=3x+1,\ du=3dx,\ dx=\frac13du$ の書き下し
2. $u^5$ の積分後に $u=3x+1$ を戻す1行

頭の中では 「$\frac13\int u^5du$ を計算して、最後に $u=3x+1$ を代入」 と処理しているだけなので、慣れると

$$\int (3x+1)^5\,dx=\frac{(3x+1)^6}{18}+C$$

と短く書けます。

2.6 例3（定積分：頭の中でも区間は意識）

$$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$$

頭の中では

• $u=x^2$
• $du=2x\,dx$
• 区間は $x:0\to1$ なので $u:0\to1$

まで同時に処理します。

$$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx =\frac12\int_0^1 e^u\,du =\frac{e-1}{2}$$

不定積分より、定積分の直接読みは区間管理が重要です。 ここでは

• $f(u)=e^u$
• $F(u)=e^u$
• $g(x)=x^2$

として公式を使っています。

この例で省略できるのは 「$u=x^2,\ du=2x\,dx$ の明示」と「$e^u$ の基本積分の途中行」です。

一方で、省略しない方がよいのは区間です。 頭の中で計算する場合でも 「$u:0\to1$」への変換は必ず意識します。

要するに、定積分でも本質は 「$u$ で積分して最後に値を評価する」だけですが、 区間管理だけは省略しないのが安全です。

2.7 直接読みを避けるべき場面

• 中身候補が複数あり、どれを採用するか迷う
• 途中で部分分数分解・三角公式変形が必要
• 記号が多く、係数調整の符号ミスが起きやすい

こういう問題は、置換を書く方が速くて安全です。

3. 典型パターンの全体地図（4系統）

導関数型を細かく丸暗記するより、まず5系統で整理します。 この章の全パターンは、すべて

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C\quad(F'=f)$$

の具体例です。

1. 基本合成型
2. べき・有理型
3. 指数・対数型
4. 三角・逆三角対応型

3.1 各系統の基本パターン式

1. 基本合成型

$$\int F(g(x))g'(x)\,dx$$

2. べき・有理型

$$\int g'(x)(ag(x)+b)^n\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{(ag(x)+b)^n}\,dx$$ $$\int \frac{g'(x)}{g(x)^2+a^2}\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{a^2-g(x)^2}\,dx$$

3. 指数・対数型

$$\int e^{g(x)}g'(x)\,dx,\quad \int a^{g(x)}g'(x)\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{g(x)}\log(g(x))\,dx$$

4. 三角・逆三角対応型

$$\int \sin(g(x))g'(x)\,dx,\quad \int \cos(g(x))g'(x)\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\,dx$$ $$\int \frac{g'(x)}{1+g(x)^2}\,dx,\quad \int \frac{g'(x)}{\sqrt{1-g(x)^2}}\,dx$$

3.2 最初の判定手順（章をまたいで共通）

1. そのまま微分形か確認する
2. 係数調整で作れるか確認する
3. 作れたら上の4系統のどれかに分類する

この順で見れば、遠回りの変形を減らせます。

3.3 見取り図を使う利点

4章以降でどの例題が出ても、 「どの型の練習か」が明確になります。 結果として、式変形ではなく判断に使う時間を短縮できます。

4. 基本合成型

原型は

$$\int F(g(x))g'(x)\,dx$$

です。 つまり1.2の公式をそのまま使う章です。

例1

$$\int \cos(x^2)\cdot 2x\,dx$$

置換で解く：

$$u=x^2,\quad du=2x\,dx$$ $$\int \cos(x^2)\cdot 2x\,dx =\int \cos u\,du =\sin u + C =\sin(x^2)+C$$

頭の中で解く：

• 中身 $x^2$ と微分 $2x$ が隣にある
• 外側 $\cos u$ の原始関数は $\sin u$

$$\int \cos(x^2)\cdot 2x\,dx=\sin(x^2)+C$$

例2

$$\int e^{x^3}\cdot 3x^2\,dx$$

置換で解く：

$$u=x^3,\quad du=3x^2\,dx$$ $$\int e^{x^3}\cdot 3x^2\,dx =\int e^u\,du =e^u+C =e^{x^3}+C$$

頭の中で解く：

• 中身 $x^3$ の微分が $3x^2$
• 外側 $e^u$ は積分しても $e^u$

$$\int e^{x^3}\cdot 3x^2\,dx=e^{x^3}+C$$

見抜きポイント

• 関数の外側（$\sin,\cos,e^\Box,\log$ など）より先に
• 中身の微分があるかを見る

5. べき・有理型

ここは「分母・指数」に中身がある形です。 いずれも公式の $f(u),F(u)$ を固定して当てるだけです。

5.1 べき型

$$\int g'(x)(ag(x)+b)^n\,dx$$

例：

$$\int 4x(2x^2+1)^3\,dx$$

置換で解く：

$$u=2x^2+1,\quad du=4x\,dx$$ $$\int 4x(2x^2+1)^3\,dx =\int u^3\,du =\frac{u^4}{4}+C =\frac{(2x^2+1)^4}{4}+C$$

頭の中で解く：

• 中身 $2x^2+1$、微分 $4x$
• 外側 $u^3$ の原始関数は $\frac{u^4}{4}$

$$\int 4x(2x^2+1)^3\,dx=\frac{(2x^2+1)^4}{4}+C$$

5.2 対数型

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\log|g(x)|+C$$

例：

$$\int \frac{4x}{x^2+1}\,dx$$

置換で解く：

$$u=x^2+1,\quad du=2x\,dx$$ $$\int \frac{4x}{x^2+1}\,dx =2\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx =2\int \frac{1}{u}\,du =2\log(x^2+1)+C$$

頭の中で解く：

• 分母中身 $x^2+1$ の微分は $2x$
• 分子 $4x$ はその2倍なので、係数 $2$ を前に出す
• あとは $\log|u|$ 型

$$\int \frac{4x}{x^2+1}\,dx=2\log(x^2+1)+C$$

5.3 分母べき型

$$\int \frac{g'(x)}{(ag(x)+b)^n}\,dx$$

例：

$$\int \frac{dx}{(2x+3)^2}$$

置換で解く：

$$u=2x+3,\quad du=2dx$$ $$\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du =-\frac{1}{2(2x+3)}+C$$

です。ここで負号が出る理由は $\int u^{-2}du=\frac{u^{-1}}{-1}$ だからです。

頭の中で解く：

• 中身 $2x+3$、微分 $2$
• $(2x+3)^{-2}$ の積分は「指数を1つ上げて割る」

$$\int \frac{dx}{(2x+3)^2}=-\frac{1}{2(2x+3)}+C$$

5.4 二次式型

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)^2+a^2}\,dx, \qquad \int \frac{g'(x)}{a^2-g(x)^2}\,dx$$

この型は後で三角・双曲線・部分分数に接続する土台です。 分母2次式の問題で、分子がその微分に近いときはまずこの見方をします。

6. 指数・対数型

この章も、公式の $f(u)$ を指数・対数にしたケースです。

6.1 指数関数

$$\int e^{g(x)}g'(x)\,dx=e^{g(x)}+C$$ $$\int a^{g(x)}g'(x)\,dx=\frac{a^{g(x)}}{\log a}+C$$

例：

$$\int 5^{x^2}\cdot 2x\,dx$$

置換で解く：

$$u=x^2,\quad du=2x\,dx$$ $$\int 5^{x^2}\cdot 2x\,dx =\int 5^u\,du =\frac{5^{x^2}}{\log 5}+C$$

頭の中で解く：

• 中身 $x^2$ の微分が $2x$
• 外側 $5^u$ の原始関数は $\frac{5^u}{\log 5}$

$$\int 5^{x^2}\cdot 2x\,dx=\frac{5^{x^2}}{\log 5}+C$$

6.2 対数を含む型

$$\int \frac{\log(g(x))}{g(x)}g'(x)\,dx$$

は

$$\int \log u\,du$$

に落ちるので、部分積分で処理できます。

例：

$$\int \frac{2x\log(1+x^2)}{1+x^2}\,dx$$

置換で解く：

$$u=1+x^2,\ du=2x\,dx$$ $$\int \frac{\log u}{u}\,du =\frac{1}{2}(\log u)^2+C =\frac{1}{2}(\log(1+x^2))^2+C$$

ここは $v=\log u$ と見ると $dv=\frac{1}{u}du$ なので、 $\int v\,dv=\frac{v^2}{2}$ に落ちています。

頭の中で解く：

• 分母中身 $1+x^2$ の微分が分子の $2x$
• 外側は $\frac{\log u}{u}$ 型なので $\frac12(\log u)^2$ に着地

$$\int \frac{2x\log(1+x^2)}{1+x^2}\,dx =\frac{1}{2}(\log(1+x^2))^2+C$$

7. 三角・逆三角対応型

この章は、公式の $f(u)$ を三角関数系にしたケースです。

7.1 三角関数

$$\int \sin(g(x))g'(x)\,dx=-\cos(g(x))+C$$ $$\int \cos(g(x))g'(x)\,dx=\sin(g(x))+C$$ $$\int \frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\,dx=\tan(g(x))+C$$

この3つはすべて「外側の基本積分」に帰着しています。

置換で解く場合は共通で

$$u=g(x),\quad du=g'(x)\,dx$$

として、$\int \sin u\,du,\int \cos u\,du,\int \frac{1}{\cos^2u}du$ に変換して計算します。

頭の中で解く場合は 「外側の基本積分を思い出して、中身だけ戻す」処理をします。

$$\int \sin(g(x))g'(x)\,dx=-\cos(g(x))+C$$ $$\int \cos(g(x))g'(x)\,dx=\sin(g(x))+C$$ $$\int \frac{g'(x)}{\cos^2(g(x))}\,dx=\tan(g(x))+C$$

7.2 逆三角対応

$$\int \frac{g'(x)}{1+g(x)^2}\,dx$$ $$\int \frac{g'(x)}{\sqrt{1-g(x)^2}}\,dx$$

は「中身と微分」が見える典型です。 前者は $1+u^2$、後者は $\sqrt{1-u^2}$ を外側に持つ型です。

置換で解くなら $u=g(x)$ を明示し、 頭の中で解くなら「この外側はどの基本形か」を先に判定します。

$$\int \frac{g'(x)}{1+g(x)^2}\,dx=\int \frac{du}{1+u^2}$$ $$\int \frac{g'(x)}{\sqrt{1-g(x)^2}}\,dx=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$

7.3 接続例（2段階）

$$\int \frac{2x}{1+x^4}\,dx$$

は、いきなりでは見えませんが

$$u=x^2,\ du=2x\,dx$$

で

$$\int \frac{du}{1+u^2}$$

に落ちます。

この時点で「7.2の型に入った」と判断できます。

最初の1手で「見える形に変える」代表例です。

8. 微分形を見つけるコツ（実戦用）

4〜7章の型を使う前に、まず「微分形がどこに隠れているか」を見つけます。 この章は、その判定コツだけをまとめます。

8.1 分母・根号・指数・三角の「中身」を先に丸で囲む

候補は次です。

• 分母の中身
• 根号の中身
• 指数の肩
• 三角関数の引数

この「中身候補」を先に特定しないと、後の判定がぶれます。

8.2 中身を微分して、式中にあるか確認する

たとえば分母が $x^2+2x+5$ なら微分は $2x+2$ です。 式中に $x+1$ があれば、係数調整で作れると判断できます。

8.3 係数違いは「前に出す定数」で吸収する

よくあるのは

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

のように微分が半分だけあるケースです。 このときは

$$\frac12\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$$

と直して型に入れます。

8.4 それでも見えなければ1行変形

次の1手で見えることが多いです。

• 因数分解
• 部分分数分解
• 半角・倍角などの公式変形
• $xF(x^2)$ 型への寄せ

変形の目的は計算を複雑にすることではなく、 4〜7章の型に乗せることです。

9. 多項式以外も g(x) にできる

$g(x)$ は多項式だけではありません。 三角関数・指数関数・対数関数も $g(x)$ にできます。 ここでは実戦で使う例をまとめます。

9.1 三角関数を g(x) にする

$$\int \sin x\cos x\,dx$$

置換で解く：

$$u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx$$ $$\int \sin x\cos x\,dx =\int u\,du =\frac{u^2}{2}+C =\frac{\sin^2 x}{2}+C$$

頭の中で解く：

$$\cos x\,dx=d(\sin x) \Rightarrow \int \sin x\cos x\,dx=\frac{\sin^2 x}{2}+C$$

9.2 指数関数を g(x) にする

$$\int e^{2x}\,dx$$

置換で解く：

$$e^{2x}=e^x\cdot e^x,\quad u=e^x,\quad du=e^x\,dx$$ $$\int e^{2x}\,dx =\int e^x\cdot e^x\,dx =\int u\,du =\frac{u^2}{2}+C =\frac{e^{2x}}{2}+C$$

頭の中で解く：

$$e^{2x}=(e^x)^2,\quad e^x\,dx=d(e^x) \Rightarrow \int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}+C$$

9.3 対数関数を g(x) にする

$$\int \frac{(\log x)^5}{x}\,dx$$

置換で解く：

$$u=\log x,\quad du=\frac{1}{x}dx$$ $$\int \frac{(\log x)^5}{x}\,dx =\int u^5\,du =\frac{u^6}{6}+C =\frac{(\log x)^6}{6}+C$$

頭の中で解く：

$$\frac{1}{x}dx=d(\log x) \Rightarrow \int \frac{(\log x)^5}{x}\,dx=\frac{(\log x)^6}{6}+C$$

9.4 合成をさらに重ねる例

$$\int e^x\sin(e^x)\,dx$$

置換で解く：

$$u=e^x,\quad du=e^x\,dx$$ $$\int e^x\sin(e^x)\,dx =\int \sin u\,du =-\cos u + C =-\cos(e^x)+C$$

頭の中で解く：

$$e^x\,dx=d(e^x) \Rightarrow \int e^x\sin(e^x)\,dx=-\cos(e^x)+C$$

9.5 分母型の対数合成

$$\int \frac{dx}{x\{1+(\log x)^2\}}$$

置換で解く：

$$u=\log x,\quad du=\frac{1}{x}dx$$ $$\int \frac{dx}{x\{1+(\log x)^2\}} =\int \frac{du}{1+u^2}$$

頭の中で解く：

$$\frac{1}{x}dx=d(\log x) \Rightarrow \int \frac{dx}{x\{1+(\log x)^2\}} =\int \frac{du}{1+u^2}$$

9.6 まとめ

1. 多項式に見えなくても、まず中身候補を1つ決める
2. その微分が見えれば、同じ公式で処理する
3. 見えないときは分解・係数調整で「微分」を作る

10. 定積分では区間処理が最優先

不定積分で直接読めても、定積分ではミスしやすいです。 使っている公式自体は同じで、違いは区間処理だけです。

例1（直接評価）

$$\int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}\,dx =[\log(1+x^2)]_0^1=\log 2$$

これは4章の不定積分を作ってから、最後に上下限を代入した形です。

例2（置換して区間変換）

$$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$$ $$u=x^2,\ du=2x\,dx$$

区間は

$$x=0\to u=0,\qquad x=1\to u=1$$

なので

$$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx =\frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du =\frac{e-1}{2}$$

ここで大事なのは、$u$ に変えたら評価まで $u$ で進めることです。

11. よくあるミスと回避法

1. 係数調整を忘れる

• 例：$\int (3x+1)^5 dx$ をそのまま $\frac{(3x+1)^6}{6}$ にしてしまう
• 対策：内側の微分係数を必ず確認する

2. $\log|g(x)|$ の絶対値を落とす

• 対策：分母型は原則 $|\cdot|$ 付きで覚える

3. 定積分で区間処理を省く

• 対策：置換直後に上下限を書き換える

4. 直接読みと置換を中途半端に混ぜる

• 対策：1問ごとに方針を先に決める

5. 途中で型が変わったのに押し切る

• 対策：変形後に型を再判定する

6. 公式の $f,F,g$ の対応を取り違える

• 対策：最初に「$f(u)$, $F(u)$, $g(x)$」を1行メモする

12. 判定フローチャート（実戦用）

1. 「中身」候補 $g(x)$ を探す
2. 近くに $g'(x)$ があるか確認する
3. 係数違いなら定数調整する
4. $g(x)$を置換して計算する or 公式 $\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$ に当てる
5. 定積分なら区間を先に処理する

13. 例題演習

問題1

$$\int \frac{6x}{3x^2+1}\,dx$$

解答・解説を見る

分母に中身を作ると

$$g(x)=3x^2+1,\quad g'(x)=6x$$

です。分子がちょうど $g'(x)$ なので、公式

$$\int \frac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C$$

をそのまま使えます。

$$\int \frac{6x}{3x^2+1}\,dx =\log(3x^2+1)+C$$

確認として、右辺を微分すると

$$\frac{d}{dx}\log(3x^2+1)=\frac{6x}{3x^2+1}$$

で元の被積分関数に戻ります。

問題2

$$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$$

解答・解説を見る

まず中身を

$$u=x^2,\quad du=2x\,dx$$

と置きます。積分には $x\,dx$ があるので

$$x\,dx=\frac12 du$$

と変換できます。さらに定積分なので区間も変換します。

$$x=0\Rightarrow u=0,\qquad x=1\Rightarrow u=1$$

よって

$$\int_0^1 x e^{x^2}dx =\frac12\int_0^1 e^u\,du =\frac12[e^u]_0^1 =\frac{e-1}{2}$$

この問題のポイントは、$u$ に変えた後は 最後まで $u$ のまま評価することです。

問題3

$$\int \frac{dx}{(2x-1)^3}$$

解答・解説を見る

分母の中身を

$$u=2x-1,\quad du=2\,dx$$

と置くと

$$dx=\frac12 du$$

です。また

$$\frac{1}{(2x-1)^3}=u^{-3}$$

なので

$$\int \frac{dx}{(2x-1)^3} =\frac12\int u^{-3}du =\frac12\cdot\frac{u^{-2}}{-2}+C =-\frac{1}{4(2x-1)^2}+C$$

指数の積分

$$\int u^n du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad(n \neq -1)$$

を使っているので、$n=-3$ のときは $\frac{u^{-2}}{-2}$ になります。

問題4

$$\int \frac{2x\log(1+x^2)}{1+x^2}\,dx$$

解答・解説を見る

分母の中身を

$$u=1+x^2,\quad du=2x\,dx$$

と置くと、分子の $2x\,dx$ がそのまま $du$ になります。 したがって

$$\int \frac{2x\log(1+x^2)}{1+x^2}\,dx =\int \frac{\log u}{u}\,du =\frac{1}{2}(\log u)^2+C =\frac{1}{2}(\log(1+x^2))^2+C$$

最後の式は

$$\frac{d}{du}\left(\frac12(\log u)^2\right)=\frac{\log u}{u}$$

を使っています。 「$\log$ が乗っていて、分母に同じ $u$ がある」形は $\frac12(\log u)^2$ を疑うと速くなります。

14. まとめ

• 積分で最初に見るのは「中身」と「その微分」
• 使っている本体は $\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C\ (F'=f)$
• 微分形が見えれば、計算はかなり短くなる
• 直接読みは便利だが、迷うときは置換を明示する

まずは1日3問、 「中身は何か」「その微分はあるか」だけを毎回確認してみてください。 この習慣で、積分の見通しは一気に良くなります。

筆者は置換積分の記述が面倒だったので、高校時代は置換をほとんど書かずに積分を処理していました。 ここまでの話を理解していれば、だれでも「頭の中で置換して解く」感覚は身につきます。 ただし、迷う問題では置換を明示する方が安全です。 速さと正確さを使い分けながら、解き方の再現性を上げていきましょう。

実戦でこの感覚を定着させるなら、短い演習を毎日回すのがいちばん効きます。 次の問題で、まずは「中身」と「その微分」を探す練習をしてみてください。