なぜ0で割ってはいけないのか？

数学ではよく

0で割ってはいけない

と教えられます。

電卓で $1 \div 0$ を計算しようとしても、エラーになります。

しかし、「なぜいけないのか」は 意外と説明されないままです。

ただのルールなのでしょうか。 それとも、もっと根本的な理由があるのでしょうか。

この記事では、割り算の意味から出発して、 0で割ると数学の中で何が起きてしまうのかを考えてみます。

1. 割り算とは何か

まず、割り算の意味を確認してみます。

たとえば

$$6 \div 3$$

はどういう意味でしょうか。

これは

3をいくつ集めると6になるか

という問いです。

実際、

$$3 \times 2 = 6$$

なので、

$$6 \div 3 = 2$$

になります。

つまり割り算とは、

ある数をかけると元に戻る数を見つけること

です。

この関係は

$$a \div b = c$$

なら

$$b \times c = a$$

と書くことができます。

2. では、0で割るとは？

では次に、次の計算を考えてみます。

$$6 \div 0$$

先ほどの意味に従うと、これは

0をいくつ集めると6になるか

という問いになります。

しかし、

$$0 + 0 + 0 + 0 + \dots$$

といくら足しても、結果は

$$0$$

のままです。

つまり、

0をいくら集めても6にはならない

のです。

したがって、

$$6 \div 0$$

は答えを持ちません。

3. もう少し深く考える

ここで、少し違う角度から考えてみます。

もし

$$1 \div 0 = x$$

と仮定してみましょう。

割り算の定義から、

$$0 \times x = 1$$

が成り立つはずです。

しかし、どんな数 $x$ をとっても

$$0 \times x = 0$$

です。

つまり

$$0 \times x = 1$$

を満たす数は存在しません。

したがって

$$1 \div 0$$

という数も存在できません。

4. もし0で割れたとしたら

ここで、仮に

$$\frac{1}{0}$$

という数が存在すると仮定してみます。

もし

$$\frac{1}{0} = a$$

ならば、

$$1 = 0a$$

が成り立つはずです。

しかし

$$0a = 0$$

なので、

$$1 = 0$$

という矛盾が生まれてしまいます。

つまり、

0で割れると、数学の中で矛盾が起きてしまう

のです。

5. 0に近づくと何が起きるか

では、次のような数を考えてみます。

$$\frac{1}{1},\quad \frac{1}{0.1},\quad \frac{1}{0.01},\quad \frac{1}{0.001}$$

計算すると、

$$1,\;10,\;100,\;1000$$

とどんどん大きくなっていきます。

分母が 0に近づくほど、 値は どんどん大きくなる のです。

このため、

$$\frac{1}{x}$$

は $x$ が0に近づくとき、 値が際限なく大きくなります。

数学では、このような振る舞いを 極限という考え方で扱います。

寄り道

しかし、

0そのものでは割ることはできません。

0に「近づく」ことはできても、 0で割ることはできないのです。

まとめ

割り算とは、

ある数をかけると元に戻る数を見つけること

でした。

しかし0には、

$$0 \times x = 0$$

という性質があります。

どんな数をかけても、 結果は必ず0になってしまいます。

そのため、

$$0 \times x = 1$$

のような式を満たす数は存在しません。

つまり、

0で割ると答えが存在しない。

さらに、もし無理に定義すると 数学の中に矛盾が生まれてしまいます。

だから数学では、

0で割ることはできない

と決められているのです。