置換積分の解き方【公式・例題付き】典型問題と定積分でミスしないコツを解説

置換積分が苦手になる原因は、計算より先に、 「この問題は置換でいくべきか」の判断で迷うことです。

先に結論です。見る場所は1つです。 カッコの中身（内側）と、その微分が近くにあるかを見てください。

この記事は、次の順で進めます。

1. 置換積分の基本ルール
2. 典型問題2題
3. 定積分でのミス回避
4. よくあるミス
5. 三角関数が絡む置換の入口

1. まずはこれだけ：内側を1文字に置く

基本形は次です。

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

ここで

$$u=g(x)$$

と置いて、両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{du}{dx}=g'(x)$$

なので

$$du=g'(x)\,dx$$

が得られます。これで

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$$

に変換できます。

手順は3つだけです。

1. 内側を $u$ に置く
2. 微分して $du$ を作る
3. $u$ の積分として解く

なぜこれで解けるかというと、複雑さの原因が「合成（入れ子）」だからです。 $f(g(x))$ は「外側 $f$」と「内側 $g$」の二重構造ですが、$u=g(x)$ と置くと

$$f(g(x)) \to f(u)$$

になり、外側だけを見ればよくなります。 さらに $du=g'(x)\,dx$ で微分側もまとめられるため、1変数の標準積分に戻せます。

使いどころ（基礎パターン）

• 指数・対数・三角関数の「中に式」が入っている 例：$e^{x^2},\ \log(1+x^2),\ \sin(3x+1)$
• 分母に「内側」があり、分子にその微分がある 例：$\frac{2x}{1+x^2},\ \frac{1}{1+3x}$（定数調整あり）

3秒チェック

次のどちらかが見えたら、置換積分を優先します。

• 合成関数がある（例：$\sin(x^2),\ e^{3x+1},\ \log(1+x^2)$）
• 内側の微分が近くにある（定数倍でも可）

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2. 実践演習①：そのまま置ける形

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx$$

内側は $x^2$、その微分は $2x$ です。

$$u=x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2x\,dx$$

したがって

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx =\int \cos u\,du =\sin u + C =\sin(x^2)+C$$

で終わりです。

この問題が置換で解ける理由は、 **「内側 $x^2$ の微分 $2x$ が、積分式にそのまま存在する」**からです。 つまり

$$\text{内側 }x^2 \quad \leftrightarrow \quad \text{外側に }2x\,dx$$

の対応が完成しています。 この形は、置換積分の中で最も素直なパターンです。

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3. 実践演習②：定数調整が必要な形

$$\int \frac{1}{1+3x}\,dx$$

内側は $1+3x$ で、その微分は $3$ です。

$$u=1+3x \Rightarrow \frac{du}{dx}=3 \Rightarrow du=3\,dx$$

よって

$$dx=\frac{1}{3}du$$

となり

$$\int \frac{1}{1+3x}\,dx =\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du =\frac{1}{3}\log|u|+C =\frac{1}{3}\log|1+3x|+C$$

となります。

ポイントはこれだけです。 微分が一致しないときは、先に定数を合わせる。

なぜ定数調整が必要かというと、$du$ は

$$du=3\,dx$$

の形で決まっており、$dx$ をそのまま $du$ に置き換えることができないからです。 この「係数合わせ」を最初にやると、以降の式変形が一気に安定します。

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4. 定積分での鉄則

定積分では、次のどちらかに固定してください。

1. 置換後の区間も $u$ に変えて、最後まで $u$ で計算する
2. 原始関数を出したら $x$ に戻してから代入する

混ぜるとミスになります。

4.1 区間も変える方法

$$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$$

で $u=x^2,\ du=2x\,dx$ と置くと

• $x=0 \Rightarrow u=0$
• $x=1 \Rightarrow u=1$

だから

$$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx =\int_0^1 e^u\,du =\left[e^u\right]_0^1 =e-1$$

4.2 戻して代入する方法

同じ問題で

$$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx =\int e^u\,du =e^u =e^{x^2}$$

と戻してから

$$\left[e^{x^2}\right]_0^1=e-1$$

と代入してもOKです。

4.3 よくあるNG

• $u$ に置換したのに、区間は $x$ のまま使う
• 原始関数が $u$ のままなのに、$x$ の上下限を入れる

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5. 置換積分で多いミス3選

ミス1：$du$ を感覚で書く

NG：

$$u=x^2,\quad du=x\,dx$$

OK：

$$u=x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2x\,dx$$

ミス2：定数調整を飛ばす

$$\int x\cos(x^2)\,dx$$

で $u=x^2$ なら $du=2x\,dx$ なので

$$x\,dx=\frac{1}{2}du$$

と直してから積分します。

ミス3：変数と区間を対応させない

$$\int_0^2 2x e^{x^2}\,dx$$

を $u=x^2$ と置いたら、区間は $0\to4$ です。

$$\int_0^2 2x e^{x^2}\,dx=\int_0^4 e^u\,du$$

のように必ず対応させてください。

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6. 三角関数が絡む置換積分

三角関数が出るときは、次の2種類に分かれます。

1. 通常の $u$ 置換で解ける
2. 三角置換が必要

6.1 通常の置換で解ける例

$$\int \sin(3x)\,dx$$ $$u=3x \Rightarrow du=3\,dx \Rightarrow dx=\frac{1}{3}du$$

より

$$\int \sin(3x)\,dx =\frac{1}{3}\int \sin u\,du =-\frac{1}{3}\cos(3x)+C$$

6.2 三角置換が必要な例

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

この形は $u=1-x^2$ では進みにくいので

$$x=\sin\theta$$

と置きます。すると

$$dx=\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{1-x^2}=\cos\theta$$

なので

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} =\theta+C$$

最後に $\theta=\arcsin x$ を戻して

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x + C$$

となります。

注：

• $\arcsin x$ は $\sin$ の逆関数です。
• $\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos\theta$ と置くときは、$\cos\theta\ge0$ の範囲を取ります。
• $\sqrt{1-x^2}$ では、状況により $x=\sin\theta$ だけでなく $x=\cos\theta$ も使えます。

6.3 三角置換の早見表

• $\sqrt{1-x^2}$：$x=\sin\theta$（または $x=\cos\theta$）
• $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin\theta$
• $\sqrt{x^2+a^2}$：$x=a\tan\theta$
• $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=\frac{a}{\cos\theta}$（$=a\sec\theta$）

ここで三角置換が効く理由は、 $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta,\ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$ のように、 根号の中を三角恒等式で「2乗」に変えられるからです。 根号が外れると、積分が通常の三角関数の積分に落ちます。

詳しくはこちら：三角関数の積分テクニック総まとめ

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7. 「読んだ」を「解ける」に変える練習法

理解した直後に3〜5問解くと、判断が定着します。

1. 『積分みくじ』で置換積分の問題を引く
2. 各問題で「内側」「微分」「定数調整」をメモする
3. 『StudyRecord』で10分だけ記録する

長く1回やるより、短く毎日触れる方が伸びます。

置換積分は「ひらめき」より「型」です。 まずは1問、内側と微分のセットを探す練習から始めてみてください。