部分積分の解き方【公式・例題付き】どちらを微分するか迷わないコツ

高校数学や大学の微分積分で、多くの人が必ず一度は絶望する壁。それが「積分」です。 中でも 「部分積分」 は、公式が長くて覚えにくい上に、「どの関数を微分して、どの関数を積分するのか」の最初の一手で間違えると、永遠に答えにたどり着けません。

しかし、実は部分積分には 「絶対に迷わなくなる関数の選び方のルール」 が存在します。

この記事では、Webアプリ『積分みくじ』に収録されている良問をピックアップしながら、部分積分の超基本から、テストで引っかかりやすい「対数関数の罠」、そして計算ミスをなくすための鉄則までを徹底的に解説します。

この記事を読み終わる頃には、どんな部分積分の問題を見ても「あ、これはあのパターンね」と手が動くようになっているはずです。

1. 部分積分の最大の罠「どっちを微分に回すか」問題

まずは部分積分の公式をおさらいしましょう。

$$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$

この公式の最大の難所は、**「式の中にある2つの関数のうち、どちらを $f(x)$（微分して簡単にする側）に選ぶか？」**です。これを逆に選んでしまうと、式がどんどん複雑になりゲームオーバーになります。

迷わなくなる魔法の順番「対・多・三・指」

ここで絶対に覚えておきたいのが、関数を微分側に選ぶ優先順位です。 左にあるものほど、微分に回す（ $f(x)$ にする）と計算がスムーズに進みます。

• 【対】 対数関数 （ $\log x$ ）：積分が難しいので、絶対に微分に回す！
• 【多】 多項式 （ $x, x^2$ など ）：微分すると次数が減って簡単になる。
• 【三】 三角関数 （ $\sin x, \cos x$ ）：微分しても積分してもループする。
• 【指】 指数関数 （ $e^x$ ）：いくら積分しても形が変わらないので、最後まで積分側に残す！

これを**「対・多・三・指（たい・た・さん・し）」**と覚えます。 このルールさえ知っていれば、最初の選択で迷うことはなくなります。

---

2. 実践演習①：基本の「多項式 × 指数関数」パターン

では、実際に『積分みくじ』からのピックアップ問題で試してみましょう。（積分定数を $C$ とします）

$$\int x e^x dx$$

多項式である $x$ と、指数関数である $e^x$ が掛け合わされています。「対・多・三・指」のルールに従うと、多項式である $x$ を微分側（ $f(x)$ ）に回します。

• 微分する側： $f(x) = x$ （微分すると $1$ になる）
• 積分する側： $g'(x) = e^x$ （積分しても $e^x$ のまま）

$$\begin{aligned} \int x e^x dx &= x e^x - \int (x)' \cdot e^x dx \\ &= x e^x - \int 1 \cdot e^x dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= e^x(x - 1) + C \end{aligned}$$

これが最も基本となる形です。

---

3. 実践演習②：多くの人が騙される「対数関数の罠」

次に、テストで非常によく出る、引っかけ問題を見てみましょう。

$$\int x \log x dx$$

さっきの $x e^x$ の流れで解こうとすると、「よし、$x$ を微分して $1$ にしよう！」と考えてしまいがちです。しかし、ここで「対・多・三・指」のルールを思い出してください。

一番強いのは 「対数関数（ $\log x$ ）」 です。つまり、ここでは $\log x$ を微分側に回さなければいけません。

• 微分する側： $f(x) = \log x$ （微分すると $\frac{1}{x}$ になる）
• 積分する側： $g'(x) = x$ （積分すると $\frac{1}{2}x^2$ になる）

$$\begin{aligned} \int x \log x dx &= (\log x) \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) - \int (\log x)' \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2}x^2 dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C \end{aligned}$$

$\log x$ が出てきたら、何がなんでも微分に回す。これが鉄則です。

---

4. 計算ミスをゼロにするための3つの鉄則

理屈はわかっても、計算ミスをしては意味がありません。部分積分でミスを減らすためには、以下の3つを意識してください。

1. マイナス記号の迷子を防ぐ: 公式の $-\int$ のマイナスを、計算の途中で忘れるケースが多発します。カッコを使って符号を整理しましょう。
2. 積分定数 $C$ を忘れない: 記述式テストでは、最後の $+C$ を書き忘れるだけで減点されます。「積分が終わった瞬間に $C$ を書く」クセをつけましょう。
3. 微分と積分を逆にしない: 焦っていると、「積分する側」の関数を間違えて微分してしまうことがあります。不安な時は、答案の端っこに $f(x)$ と $g'(x)$ のメモを書き出すのが確実です。

---

5. 「分かったつもり」を抜け出すための最強の組み合わせ

ここまで部分積分の解き方を解説してきましたが、数学において一番危険なのは 「記事を読んで分かったつもりになること」 です。 実際に自分の手を動かして、さまざまなパターンの問題に触れないと、テスト本番でスラスラと解くことはできません。

とはいえ、「分厚い問題集を開いて、机に向かってガッツリ勉強する」のはハードルが高いですよね。三日坊主になってしまう人も多いはずです。

そこで、AwayFromが開発した2つのアプリを使った 「無理なく続く学習法」 を提案します。

ステップ1：『積分みくじ』で1日1問だけ解く

まずは、300問からランダムで出題されるWebアプリ 『積分みくじ』 を開いてみましょう。 難易度や分野（部分積分だけ、など）を指定して引くことができるので、今回学んだ「対・多・三・指」の法則を試すのにぴったりです。 「今日はとりあえずおみくじを1回引いて、その1問だけ解く」という小さな目標なら、通学中の電車やスキマ時間でも簡単に達成できます。

ステップ2：『StudyRecord』で「たった10分の頑張り」を可視化する

「1問解く」という行動を習慣化するために、学習記録アプリ 『StudyRecord』 を使ってみてください。 「今日はやる気が出ないな」という日でも、タイマーを10分だけセットして積分みくじに挑戦します。StudyRecordは、あなたの学習時間をグラフやヒートマップで可視化し、学習量に応じて「実績」が解除されていくゲーム感覚のアプリです。

「自分がどれだけ勉強したか」が目に見えて積み上がっていく感覚は、モチベーション維持に絶大な効果があります。

部分積分は、一度ルールを身につけてしまえば確実な得点源になります。「対・多・三・指」の魔法の呪文を胸に、まずは今日、1問だけ積分みくじを引いてみませんか？